Tenseur des déformations

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Champ de déplacement

Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement.

Soit A un point du solide au repos ; après déformation, il devient le point A' . On appelle déplacement du point A le vecteur

u (A) = A A^{'}

On peut relier le tenseur des déformations au champ de déplacement :

$\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left ({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}\right )$ (Opérateur des déformations linéarisé).

Définition de l'opérateur des déformations

Allongement uni-dimensionnel

Prenons le cas d'un segment [AB], parallèle à l'axe x₁, devenant le segment [A'B' ], la déformation étant également parallèle à x₁.

La déformation ε₁₁ vaut (exprimée en distances algébriques) :

ε_{11} = \frac{Δ l}{l _{0}} = \frac{A ^{'} B ^{'} - A B}{A B}

Sachant que

$\overline{A A^{'}} = u_{1} (A)$ et $\overline{B B^{'}} = u_{1} (B)$

la déformation vaut donc

ε_{11} = \frac{A ^{'} A + A B + B B ^{'}}{A B} - 1

ε_{11} = \frac{u _{1} ( B ) - u _{1} ( A ) + A B}{A B} - 1

Si l'on se place en petites déformations, on peut faire le développement limité du premier ordre de u₁ :

u_{1} (B) ≃ u_{1} (A) + \frac{\partial u _{1}}{\partial x _{1}} \cdot \overline{A B}

et ainsi

ε_{11} = \frac{\partial u _{1}}{\partial x _{1}}

De manière plus générale :

ε_{ii} = \frac{\partial u _{i}}{\partial x _{i}} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u _{i}}{\partial x _{i}} + \frac{\partial u _{i}}{\partial x _{i}})

Cisaillement pur

Considérons maintenant du cisaillement pur. Un carré ABCD, où [AB] est parallèle à x₁ et [AD] est parallèle à x₂, se transforme en un losange AB'C'D' , symétrique selon la première bissectrice du plan.

La tangente de l'angle γ vaut :

$tan (γ) = \frac{B B ^{'}}{A B}$ .

Pour les petites déformations, on a

tan (γ) ≃ γ

ainsi que

\overline{B B^{'}} = u_{2} (B) ≃ u_{2} (A) + \frac{\partial u _{2}}{\partial x _{1}} \cdot \overline{A B}

avec u₂(A) = 0. Ainsi,

γ ≃ \frac{\partial u _{2}}{\partial x _{1}}

Si l'on considère maintenant le segment [AD] :

γ ≃ \frac{\partial u _{1}}{\partial x _{2}}

et ainsi

γ = ε_{12} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u _{1}}{\partial x _{2}} + \frac{\partial u _{2}}{\partial x _{1}})

L'intérêt de faire la moyenne apparaît si l'on fait tourner le losange, il faut alors définir deux angles $γ_{B} = B^{'} A B$ et $γ_{D} = D^{'} A D$ .

Note : dans l'article Déformation élastique, l'angle γ défini vaut le double de l'angle défini ici.

Définition générale

L'opérateur des déformations est un opérateur visant à caractériser en un point la déformation du milieu, c’est-à-dire la variation de longueur d'un segment suite à la transformation subie par le milieu.

On considère le segment AB qui se transforme en A' B'. Cet opérateur permet de quantifer |A' B'|²-|AB|².

On décrit la transformation de chaque point du milieu par une fonction (suffisamment régulière) : $\underline{Φ} (A^{'}, t)$ telle que

\underline{O A^{'}} = \underline{Φ} (A, t)

On introduit alors le concept de déformation, pour mesurer la variation de distance entre deux points du solide suite à la transformation $\underline{Φ}$ .

On cherche à avoir une mesure de |A' B'|²-|AB|².

Or on a

\underline{O A^{'}} = \underline{Φ} (A, t)

On peut donc écrire :

\underline{O B^{'}} = \underline{O A^{'}} + \underline{\underline{F}} \cdot \underline{A B} + o (∣ \underline{A B} ∣)

où

\underline{\underline{F}} = \underline{\underline{g r a d}} (\underline{Φ}) = \frac{\partial Φ}{\partial A}

est le gradient de la transformation.

On obtient donc :

∣ A^{'} B^{'} ∣^{2} - ∣ A B ∣^{2} = \underline{A B} (\underline{\underline{F}}^{T} \cdot \underline{\underline{F}} - \underline{\underline{I d}}) \underline{A B}

On pose :

\underline{\underline{E}} = \frac{1}{2} (\underline{\underline{F}}^{T} \cdot \underline{\underline{F}} - \underline{\underline{I d}})

$\underline{\underline{E}}$ est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange

Si on introduit le vecteur déplacement

on obtient :

\underline{\underline{E}} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial A}^{T} \cdot \frac{\partial u}{\partial A} + \frac{\partial u}{\partial A} + \frac{\partial u}{\partial A}^{T})

Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on obtient l'opérateur des déformations linéarisé :

\underline{\underline{ε}} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial A} + \frac{\partial u}{\partial A}^{T})

Variation de volume relative

La variation de volume relative ΔV/V₀ est la trace du tenseur :

\frac{Δ V}{V _{0}} = ε_{11} + ε_{22} + ε_{33}

En effet, si l'on considère un cube d'arrête a, après déformation on a un quasi-cube (les variations d'angle ne changent pas le volume) de dimension $a \cdot (1 + ε_{11}) \times a \cdot (1 + ε_{22}) \times a \cdot (1 + ε_{33})$ et V₀ = a, soit

\frac{Δ V}{V _{0}} = \frac{( 1 + ε _{11} + ε _{22} + ε _{33} + ε _{11} \cdot ε _{22} + ε _{11} \cdot ε _{33} + ε _{22} \cdot ε _{33} + ε _{11} \cdot ε _{22} \cdot ε _{33} ) \cdot a ^{3} - a ^{3}}{a ^{3}}

comme on est en très faible déformation,

1 >> ε _ii >> ε _ii·ε _jj >> ε₁₁·ε₂₂·ε₃₃

d'où le résultat.

On en déduit que dans le cas du cisaillement pur, il n'y a pas de variation de volume.

De manière plus rigoureuse, la variation de volume relative ΔV/V₀ est égale à |F|-1.

En effet, soit le prisme de Ω₀ élémentaire engendré par (u₁₀,u₂₀,u₃₀). Sa transformée par Φ est le prisme engendré par (u₁,u₂,u₃).

Soit dV le volume de la transformée, et dV₀ celui du prisme initial.

On a

d V = (u_{1} \land u_{2} \cdot u_{3}) = (\underline{\underline{F}} (u_{10}) \land \underline{\underline{F}} (u_{20}) \cdot \underline{\underline{F}} (u_{30})) = ∣ \underline{\underline{F}} ∣ (u_{10} \land u_{20} \cdot u_{30}) = ∣ \underline{\underline{F}} ∣ d V_{0}

d'où ΔV/V= |F|-1