Théorème de Burnside (groupe résoluble)

En mathématiques, et plus précisément dans le contexte de la théorie des groupes finis, le théorème de Burnside traite des groupes résolubles.

Ce théorème dit que, si p et q sont deux nombres premiers et n et m deux entiers positifs, alors tout groupe d'ordre p.q est résoluble.

Il est nommé en l'honneur de William Burnside , qui l'a démontré en 1905, à l'aide de la théorie des représentations d'un groupe.

Ce résultat généralise un théorèmes de Sylow qui traite le cas où m est égal à zéro.

En 1872, Ludwig Sylow énonce trois célèbres théorèmes dont l'un indique le caractère nilpotent et donc résoluble d'un groupe de cardinal p.

Georg Frobenius démontre en 1895 que tout groupe de cardinal p.q est résoluble. Ce résultat est généralisé trois ans plus tard par Camille Jordan au cas où m est égal à deux. C'est en 1905 que William Burnside démontre la véracité du résultat dans le cas où n et m sont quelconques.

La démonstration de Burnside est un peu technique. Elle utilise beaucoup des méthodes existantes au moment de la rédaction de l'article. On trouve bien évidemment la notion de groupe résoluble, mais aussi un théorème de Sylow avec l'utilisation de p-groupes, les classes de conjugaison découvertes par Burnside. Enfin la théorie des représentations d'un groupe fini est largement utilisée avec sa dimension arithmétique récemment découverte par Issai Schur .