Théorème de Wedderburn

En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Wedderburn est un théorème sur les corps.

Il affirme que tout corps fini est commutatif.

Il a été nommé en l'honneur de Joseph Wedderburn pour son article de 1905 proposant trois démonstrations de ce théorème.

Remarque sur la terminologie : la définition anglo-saxonne des corps (fields) demande en fait que la multiplication soit commutative, nos corps (non nécessairement commutatifs) s'appelant des skew-fields (corps gauches) ou parfois des division algebras (algèbres avec division). La convention la plus usitée en France, et qui sera utilisée dans cet article, était de préciser si le corps est commutatif ou non, même si elle tend désormais à s'aligner sur le modèle anglo-saxon.

• Tout corps fini est commutatif.

En fait, le théorème se généralise aux anneaux finis sans diviseurs de zéro, et montre que ceux-ci sont également des corps commutatifs, mais ce résultat n'apporte rien de plus, car il est facile de montrer que dans un monoïde fini, tout élément régulier est inversible, en remarquant que la multiplication par cet élément est injective, donc surjective.

Le développement de la théorie des corps finis démarre vers la fin du XIXe siècle. La théorie des représentations des groupes finis amène Frobenius à s'intéresser aux corps de caractéristique finie différents des corps premiers (c’est-à-dire ceux engendré par l'unité de la multiplication). La théorie de Galois et l'automorphisme de Frobenius permettent rapidement la détermination de la structure des extensions finies de F_p le corps fini à p éléments. La classification des corps finis abéliens est rapide. Leonard Dickson, professeur à l'université de Chicago publie la première étude systématique. Oswald Veblen travaille à cette époque sur les géométries sur des structures finies dans la même université. Joseph Wedderburn les rejoint en 1904 et travaille en étroite collaboration avec eux.

En 1905, de retour en Europe, Wedderburn publie un article proposant trois preuves de la commutativité de tous les corps finis. Si les deux dernières découlent directement des travaux de Dickson, que Wedderburn connaissait, la première convainc la communauté de la paternité de Wedderburn sur le théorème. Ce n'est que plus tard que la première preuve apparut comme incomplète.

Par la suite, cette démonstration fut complétée et de nombreuses autres proposées, progressivement moins techniques. Une des plus récentes (et des plus simples) est due à Theodore Kaczynski.

La démonstration proposée ici est due à Ernst Witt en 1931. Elle peut se découper en quatre temps.

K est un espace vectoriel sur son centre

• K est un corps fini. Il est donc de caractéristique p ≠ 0 et contient une copie de F_p comme corps premier. F_p est commutatif. Soit Z le centre du corps K et q=|Z| son cardinal. Z est le plus grand sous-corps commutatif de K.

• K est un Z-espace vectoriel de dimension finie d= dim_Z(K). On appelle aussi d le degré de K sur Z, noté [K : Z]. Le cardinal de K est alors |K|=q.

Si d=1, K=Z est commutatif et ce n'est plus le cas si d>1.

• Pour tout corps intermédiaire $Z\subset K^{\prime }\subset K$, la dimension de K' sur Z divise celle de K sur Z. Pour voir cela, notons d' = dim_Z(K' ). Le groupe $K^{\prime \star }$ des inversibles de $K^{\prime }$ est un sous-groupe de $K^{\star }$ éléments inversibles de $K$ donc $q^{d^{\prime }}-1$ divise $q^d-1$. Il existe donc une racine primitive d'-ième $\alpha$ tel que ${\alpha }^d=1$. En faisant la division euclidienne de d par d' on montre que d' divise d. CQFD

Soit x un élément de K et Z_x l'ensemble des éléments de K commutant avec x. Z_x est un sous-corps de K contenant Z. D'après le point précédent, d_x=dim_Z(Z_x) divise d.

Formule des classes pour l'action de K sur lui-même par conjugaison.

Notons K le groupe multiplicatif de K, constitué des éléments inversibles de K. Kagit sur lui-même par conjugaison par $g.x=gx{g}^{-1}$ pour $g,x\in K^{\times }\times K^{\times }$.

• Le cardinal de l'orbite ${\omega }_x$ d'un élément $x$ de K est $|{\omega }_x|=|K^{\times }|/|Z_x^{\times }|$ où, rappelons, $Z_x^{\times }=\{g\in K^{\times }|g.x=x\}$. La conjugaison est triviale sur Z ; les éléments de $Z^{\times }$ ont une classe réduite à un élément.

• Si (x_i) est une suite de représentants des k orbites non ponctuelles, la formule des classes s'écrit :

soit :

En notant

on vient de voir que $F(q)=q-1$

Φ_d(X) divise F(X) dans Z[X]

• La théorie des polynômes cyclotomiques à coefficients dans les nombres rationnels démontre l'égalité suivante, si Φ_e(X) désigne le polynôme cyclotomique d'indice e.

En particulier Φ_n(X) divise X - 1 mais pour tout e divisant n, e<n, Φ_n(X) ne divise pas X - 1

• Φ_d(X) divise F(X) dans $\mathbb{Q}[X]$. En effet pour tout $x_i$ dont l'orbite n'est pas ponctuelle $d_{x_i}$ est un diviseur strict de $d$ donc

pour un certain C(X) à coefficients rationnels, d'où

et la conclusion suit, vue la définition de F(X).

• Comme Φ_d(X) est unitaire, on sait trouver Q(X) et R(X) à coefficients entiers tels que F(X) = Φ_d(X).Q(X) + R(X) avec d°(R)<d°(Φ_d) ou R=0. R est nécessairement nul, sinon, en regardant cette division dans $\mathbb{Q}[X]$, on contredirait le point précédent. Donc F(X)=Φ_d(X)Q(X) où Q(X) est à coefficients entiers.

Géométrie des racines primitives d-ièmes

• Dans l'égalité F(q) = q - 1 =Φ_d(q)Q(q), Q(q) est un entier non nul donc |Q(q)| est au moins 1 et

• Comme l'illustre la figure ci-contre, si u est une racine primitive n_ième de l'unité avec n>1, on a

.

• ${\Phi }_d(q)=\prod (q-z_i)$, où z_i décrit l'ensemble des racines primitives d-ièmes de l'unité. Les deux inégalités précédentes entraînent d=1 ; ainsi K est commutatif. Le théorème est démontré.