Théorème des gendarmes

En analyse, le théorème des gendarmes, également appelé théorème d'encadrement ou théorème du sandwich, s'énonce de la manière suivante :

Si f, g et h sont trois fonctions réelles définies sur un même intervalle I, telles que pour tout x de I dans un voisinage de a :

$f(x)\le g(x)\le h(x)$ et ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}h(x)=L$ (a fini ou non), alors on a aussi : ${\lim }_{x\to a}g(x)=L$

Pour comprendre ce nom, il faut assimiler les fonctions f et h à des gendarmes et g au prisonnier. Ce dernier, étant encadré par les deux gendarmes il est alors obligé de les suivre jusqu'à la prison L.

La démonstration est directement issue de la notion de voisinage de a et de la définition de la limite.

Pour tout intervalle ouvert U contenant L,

• Puisque ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$, il existe un voisinage V₁ de a tel que

pour tout x de V₁, $f(x)\in U$

• Puisque ${\lim }_{x\to a}h(x)=L$, il existe un voisinage V₂ de a tel que

pour tout x de V₂, $h(x)\in U$

• Enfin, d'après la propriété d'encadrement, il existe un voisinage V₃ de a tel que

pour tout x de V₃, $f(x)\le g(x)\le h(x)$

L'intersection de trois voisinages est un voisinage donc $V=V_1\cap V_2\cap V_3$ est un voisinage de a et pour tout x de V, on a

• $f(x)\in U$
• $h(x)\in U$
• $f(x)\le g(x)\le h(x)$

d'où il vient que

ce qui prouve que ${\lim }_{x\to a}g(x)=L$

Soit $f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$, x > 0. On cherche la limite en l'infini de cette fonction.
On sait que : $-1\le \sin (x)\le 1$. D'où, pour x > 0 : $-\frac{1}{x}\le \frac{\sin (x)}{x}\le \frac{1}{x}$

Ou ${\lim }_{x\to \infty }-\frac{1}{x}={\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$
Donc, d'après le théorème d'encadrement : ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=0$

Des variantes de ce théorème existent pour des fonctions dont la limite est infinie, mais c'est un théorème de comparaison qui n'est pas celui des gendarmes (à noter "par théorème de comparaison" donc)

Si f, g sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle I, telles que pour tout x de I dans un voisinage de a :

$f(x)\le g(x)$ et ${\lim }_{x\to a}f(x)=+\infty$ (a fini ou non), alors on a aussi : ${\lim }_{x\to a}g(x)=+\infty$

Si f, g sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle I, telles que pour tout x de I dans un voisinage de a :

$f(x)\le g(x)$ et ${\lim }_{x\to a}g(x)=-\infty$ (a fini ou non), alors on a aussi : ${\lim }_{x\to a}f(x)=-\infty$

Si f, g sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle I, telles que pour tout x de I dans un voisinage de a :

$0\le f(x)\le g(x)$ et ${\lim }_{x\to a}g(x)=0$ (a fini ou non), alors on a aussi : ${\lim }_{x\to a}f(x)=0$

Enfin des théorèmes analogues existent pour des limites de suites

Si u, v et w sont trois suites réelles, telles que pour tout n > N

$u_n\le v_n\le w_n$ et ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n={\lim }_{n\to +\infty }{w}_n=L$, alors on a aussi : ${\lim }_{n\to +\infty }{v}_n=L$

avec les variantes pour les limites infinies.

Les démonstrations de toutes ces variantes sont analogues à celle développée plus haut.