Théorème des nombres premiers

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Introduction

En théorie des nombres, le théorème des nombres premiers est un résultat concernant la densité asymptotique des nombres premiers. En définissant, pour tout réel positif x, le nombre π(x) comme le nombre de nombres premiers inférieurs à x, le théorème des nombres premiers s'énonce de la façon suivante :

Théorème des nombres premiers — Lorsque $x \to + \infty$ , on a

π (x) \sim \frac{x}{ln ( x )} .

(ln (x) désigne le logarithme naturel de x ; pour la signification de $\sim$ , voir l'article sur les notations de Landau).

Une meilleure approximation, avec une estimation de l'erreur, est donnée par la formule :

π (x) = L i (x) + O (x e^{- \frac{l n ( x )}{15}})

pour de grandes valeurs de x (Li est la fonction logarithme intégral).

Le tableau suivant illustre les écarts entre π(x) et ses approximations, π(x) et Li(x) :

x	π(x)	π(x) - x / ln(x)	Li(x) - π(x)	x / π(x)
10	4	0	2	2,500
10	25	3	5	4,000
10	168	23	10	5,952
10	1 229	143	17	8,137
10	9 592	906	38	10,430
10	78 498	6 116	130	12,740
10	664 579	44 159	339	15,050
10	5 761 455	332 774	754	17,360
10	50 847 534	2 592 592	1 701	19,670
10	455 052 511	20 758 029	3 104	21,980
10	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24,280
10	37 607 912 018	1 416 705 193	38 263	26,590
10	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28,900
10	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31,200
10	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33,510
10	279 238 341 033 925	7 804 289 844 392	3 214 632	35,810
4 ·10	1 075 292 778 753 150	28 929 900 579 949	5 538 861	37,200

Le théorème des nombres premiers permet d'obtenir une formule qui donne le comportement asymptotique du nième nombre premier p(n) :

p (n) \sim n ln (n) .

Histoire

Le théorème des nombres premiers a été conjecturé par Gauss en 1792 alors qu'il avait seulement 15 ans et par Adrien-Marie Legendre en 1798, puis démontré indépendamment par Jacques Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896 à l'aide de méthodes d'analyse complexe, en particulier la fonction ζ de Riemann.

À cause de la relation entre la fonction ζ de Riemann et π(x), l'hypothèse de Riemann a une importance considérable en théorie des nombres : si elle était démontrée, cela produirait de loin une bien meilleure estimation de l'erreur intervenant dans le théorème des nombres premiers.

Helge von Koch en 1901 a montré plus précisément, que si l'hypothèse de Riemann était vraie, le terme d'erreur dans la relation mentionnée ci-dessus pourrait être amélioré en :

π (x) = L i (x) + O (x ln (x))

La constante sous la notation grand O est inconnue.

On est encore loin d'un tel terme d'erreur. En revanche, on sait que toute amélioration de la région sans zéro de la fonction ζ de Riemann améliore de facto le terme d'erreur du théorème des nombres premiers. La meilleure région sans zéro actuellement connue a été obtenue en 1958 par Korobov et Vinogradov [Cette région était un peu trop "optimiste", et n'a jamais été rigoureusement établie, ni par Vinogradov, ni par Korobov, ni par personne d'autre. Elle a été finalement remplacée par une région plus petite (mais établie par une preuve) par H.-E. Richert en 1967]. La région de Richert implique le résultat suivant : lorsque $x \to \infty$ , on a

π (x) = L i (x) + O (x exp {- c (ln x)^{3/5} (ln ln x)^{- 1/5}}),

où c > 0 est une constante absolue.

En ce qui concerne des majorations explicites, mentionnons les travaux de Rosser et Schoenfeld (1962, 1975, 1976), puis ceux de Dusart (1998). À l'aide d'ordinateurs de plus en plus puissants, ces chercheurs ont pu déterminer de plus en plus de zéros non triviaux de la fonction ζ sur la droite critique. Cette connaissance de plus en plus approfondie implique de bonnes estimations des fonctions usuelles de nombres premiers, avec ou sans l'hypothèse de Riemann. Ainsi, en 1976, Schoenfeld a-t-il pu établir que, si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors on a, pour tout réel $x \geq 2657$ :

∣ π (x) - L i (x) ∣ < \frac{1}{8 π} x ln x,

alors que, sans condition, Dusart a démontré que, pour tout réel $x \geq 59$ , on a :

∣ π (x) - L i (x) ∣ < 2 K \frac{x}{( ln x ) ^{3/4}} exp (- \frac{ln x}{R}),

où $R \approx 9, 645908801...$ et $K \approx 0, 2196$ .

Pour une autre classe des sommes le théorème des nombres premiers peut être généralisé (Weyl)

∑	(p)˜Li(x)
p

où L**i(x) la fonction intégrale est logarithmique et k>0

Ébauche de la preuve

On commence par écrire l'égalité entre le produit d'Euler et la factorisation de Weierstrass de la fonction zêta :

ζ (s) = p \in P \prod \frac{1}{1 - p ^{- s}} = \frac{e ^{a + b s}}{s - 1} ρ \in Z \prod (1 - \frac{s}{ρ}) e^{\frac{s}{ρ}}

avec s de partie réelle strictement supérieure à 1, $P$ l'ensemble des nombres premiers (1 n'étant pas premier), Z l'ensemble des zéros (triviaux et non triviaux) de zêta et a, b des constantes. On prend ensuite la dérivée logarithmique :

\frac{ζ ^{'} ( s )}{ζ ( s )} = - p \in P \sum \frac{p ^{- s}}{1 - p ^{- s}} ln p = b - \frac{1}{s - 1} + ρ \in Z \sum \frac{s}{ρ ( s - ρ )}

Grâce à la série entière complexe $\frac{z}{1 - z} = \sum_{n = 1}^{\infty} z^{n}$ pour |z| < 1, il vient $\sum_{p \in P} \frac{p ^{- s}}{1 - p ^{- s}} ln p = \sum_{p \in P, n \geq 1} p^{- n s} ln p$ . On voit également que b + 1 = ζ'(0) / ζ(0) = ln2π, ce qui donne

p \in P, n \geq 1 \sum p^{- n s} ln p = - ln 2 π + \frac{s}{s - 1} - ρ \in Z \sum \frac{s}{ρ ( s - ρ )}

pour Re(s) > 1. On veut maintenant intégrer cette égalité contre la fonction x / s (avec x constante fixée). Le contour d'intégration est un rectangle de côté droit {Re(s) = σ} avec σ > 1 et qui s'étend à l'infini verticalement et à gauche. Après des calculs faisant appel au théorème des résidus, on obtient la célèbre formule explicite de Riemann, pour x > 0 non puissance d'un nombre premier :

p \in P, m \geq 1, p^{m} < x \sum ln p = x - ρ \sum \frac{x ^{ρ}}{ρ} - ln 2 π - \frac{1}{2} ln (1 - \frac{1}{x ^{2}})

avec cette fois ρ balayant seulement les zéros non triviaux de zêta (les triviaux ont été regroupés dans le dernier terme). A gauche on reconnaît la fonction de Tchebychev ψ(x), asymptotiquement équivalente à π(x) ln(x). Le théorème des nombres premiers est par conséquent presque démontré, puisqu'à droite on voit le terme x attendu. Le dernier point à montrer est que les autres termes de droite sont négligeables devant x, autrement dit qu'il n'y a pas de zéro ρ dont la partie réelle est 1. Ce point a été prouvé par Hadamard et De la Vallée Poussin.

Ce qu'il advint de la « profondeur »

Il est convenu de distinguer plusieurs types de démonstrations mathématiques, en fonction du degré de sophistication des théories mathématiques auxquelles on fait appel ; le théorème des nombres premiers fournit un prototype pour ce genre de considérations.

On a longtemps cru, au début du XX siècle, et notamment G. H. Hardy, que toute démonstration du théorème des nombres premiers devait forcément faire appel à des théorèmes d'analyse complexe ; ce qui par ailleurs pouvait paraître frustrant pour un énoncé semblant porter essentiellement sur les nombres entiers (quoique nécessitant les nombres rationnels, voire les nombres réels pour pouvoir être énoncé). C'était donc un défi pour les mathématiciens d'essayer de trouver une démonstration élémentaire de ce théorème - élémentaire ne voulant pas dire simple, ni peu sophistiquée, mais seulement faisant le moins possible appel à des méthodes externes, à l'arithmétique dans notre cas - ou bien de comprendre précisément pourquoi certains énoncés ne sont accessibles qu'avec des méthodes plus évoluées que ce à quoi on pouvait s'attendre. Hardy parlait donc de « profondeur » des théorèmes et pensait que le théorème des nombres premiers faisait partie des énoncés dont la « profondeur » ne les rendait accessibles que par le biais de l'analyse complexe.

Une première brèche dans cette conception fut la découverte d'une démonstration basée seulement sur le théorème taubérien de Norbert Wiener ; mais il n'était pas clair qu'on ne puisse pas attribuer à ce théorème une « profondeur » équivalente aux théorèmes issus de l'analyse complexe.

Le débat fut tranché en 1949, quand Paul Erdős et Atle Selberg donnèrent chacun une démonstration indéniablement élémentaire du théorème des nombres premiers. Quelle que soit la valeur du concept de « profondeur », celle du théorème des nombres premiers n'exigeait pas d'analyse complexe. De manière plus générale, la découverte de ces démonstrations élémentaires provoqua un regain d'intérêt pour les méthodes de crible, qui trouvèrent ainsi toute leur place dans l'arithmétique.