Théorème des restes chinois

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Introduction

Le théorème des restes chinois est un résultat d'arithmétique modulaire traitant de résolution de systèmes de congruences. Ce résultat, établi initialement pour Z/nZ, se généralise en théorie des anneaux. Ce théorème est utilisé en théorie des nombres.

Fragments d'histoire

La forme originale du théorème, contenue dans un livre du mathématicien chinois Qin Jiushao publié en 1247, est un résultat concernant les systèmes de congruences (voir arithmétique modulaire). Mais on trouve trace d'un problème analogue dans le livre de Sun Zi, le Sunzi suanjing datant du III siècle :

Combien l'armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats si, rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats ?

On peut penser que les Chinois, férus de calculs astronomiques, puissent être intéressés par des concordances de calendrier et qu'ils aient été amenés très tôt à s'intéresser à des questions du type :

Dans combien de jours la pleine lune tombera-t-elle au solstice d'hiver ?

Si la question se pose alors qu'il reste 6 jours avant le solstice d'hiver et 3 jours avant la pleine lune, la question se traduit par :

Existe-t-il un entier x tel que le reste de la division de x par 365 donne 6 et le reste de la division de x par 28 donne 3 ?

La résolution proposée par Sun Zi pour le problème des soldats est la suivante :

Multiplie le reste de la division par 3, c’est-à-dire 2, par 70, ajoute lui le produit du reste de la division par 5, c’est-à-dire 3, avec 21 puis ajoute le produit du reste de la division par 7, c'est-à-dire 2 par 15. Tant que le nombre est plus grand que 105, retire 105.

Mais la solution n'explique qu'imparfaitement la méthode utilisée.

Enfin, il serait dommage de ne pas présenter ce problème concernant des pirates et un trésor, très fréquemment cité pour illustrer le théorème des restes chinois :

Une bande de 17 pirates possède un trésor constitué de pièces d'or d'égale valeur. Ils projettent de se les partager également, et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors 3 pièces. Mais les pirates se querellent, et six d'entre eux sont tués. Un nouveau partage donnerait au cuisinier 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le trésor, six pirates et le cuisinier sont sauvés, et le partage donnerait alors 5 pièces d'or à ce dernier. Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier s'il décide d'empoisonner le reste des pirates ?

L'arithmétique modulaire a rendu ce type de problème plus facile à résoudre.

Système de congruences d'entiers

Théorème

Soient n₁, ..., n_k des entiers deux à deux premiers entre eux (ce qui veut dire pgcd (n_i , n_j) = 1 lorsque i ≠ j). Alors pour tous entiers a₁, ..., a_k, il existe un entier x, unique modulo $n = \prod_{i = 1}^{k} n_{i}$ et tel que

x \equiv a_{1} (mod n_{1}) \dots x \equiv a_{k} (mod n_{k})

Une solution x peut être trouvée comme suit:

Pour chaque i, les entiers $n_{i}$ et $\overset{n}{^}_{i} = \frac{n}{n _{i}}$ sont premiers entre eux, et d'après le théorème de Bachet-Bézout, on peut trouver des entiers $u_{i}$ et $v_{i}$ tels que $u_{i} n_{i} + v_{i} \overset{n}{^}_{i} = 1$ . Si on pose $e_{i} = v_{i} \overset{n}{^}_{i}$ , alors nous avons

e_{i} \equiv 1 (mod n_{i})

$e_{i} \equiv 0 (mod n_{j})$ pour j ≠ i.

Une solution de ce système de congruences est par conséquent

Plus généralement, toutes les solutions x de ce système sont congrues modulo le produit n

Exemple

Le problème des soldats se réduit à

x \equiv 2 (mod 3)

x \equiv 3 (mod 5)

x \equiv 2 (mod 7)

on obtient alors

$n = 3 \times 5 \times 7$
n₁ = 3 et $\overset{n}{^}_{1} = 35$ , or $2 \overset{n}{^}_{1} \equiv 1 (mod 3)$ donc e₁ = 70
n₂ = 5 et $\overset{n}{^}_{2} = 21$ , or $\overset{n}{^}_{2} \equiv 1 (mod 5)$ donc e₂ = 21
n₃ = 7 et $\overset{n}{^}_{3} = 15$ , or $\overset{n}{^}_{3} \equiv 1 (mod 7)$ donc e₃ = 15

une solution pour x est alors $x = 2 \times 70 + 3 \times 21 + 2 \times 15 = 233$

et les solutions sont tous les entiers congrus à 233 modulo 105, c'est-à-dire à 23 modulo 105.

Généralisation à des nombres non premiers entre eux

Quelquefois, les systèmes de congruences peuvent être résolus même si les $n_{i}$ ne sont pas premiers entre eux deux à deux. Le critère précis est le suivant : une solution x existe si et seulement si $a_{i} \equiv a_{j} (mod P g c d (n_{i}, n_{j}))$ pour tous i et j. Toutes les solutions x sont congrues modulo le PPCM des n_i .

Exemple : résoudre le système

x \equiv 3 (mod 4)

x \equiv 5 (mod 6)

équivaut à résoudre le système

x \equiv 3 (mod 4)

x \equiv 1 (mod 2)

x \equiv 1 (mod 2)

x \equiv 2 (mod 3)

équivaut au système

x \equiv 3 (mod 4)

x \equiv 2 (mod 3)

n₁ = 4 et $\overset{n}{^}_{1} = 3$ , or $3 \overset{n}{^}_{1} \equiv 1 (mod 4)$ donc e₁ = 9
n₂ = 3 et $\overset{n}{^}_{2} = 4$ , or $\overset{n}{^}_{2} \equiv 1 (mod 3)$ donc e₂ = 4

Une solution est donc $x = 3 \times 9 + 2 \times 4 = 35$ ou tout autre nombre congru à 11 modulo 12

La méthode des substitutions successives peut souvent fournir les solutions des systèmes de congruences, même lorsque les modules ne sont pas premiers entre eux deux à deux.

Interprétation mécanique

La résolution du système suivant :

{x \equiv r (mod a) x \equiv s (mod b)

d'inconnue x passe par le calcul du PPCM de a et b.

Ce problème mathématique est une modélisation d'un problème sur des engrenages: une roue dentée comportant a dents s'engrène dans une tringle horizontale. Combien de dents doivent passer pour que sa r-ième dent vienne en coïncidence avec la s-ième dent d'une autre roue dentée comportant elle b dents ?

Le PPCM des deux nombres a et b est ce qui permet de comprendre le comportement périodique de ce système : c'est le nombre de dents séparant deux contacts de même congruence. On peut donc trouver la solution , s'il y en a une, dans l'intervalle [1,PPCM(a,b)]. Il y a une solution si PGCD(a , b) divise r - s.

On peut comprendre simplement pourquoi le calcul sur des roues dentées fait intervenir de l'arithmétique modulaire, en remarquant que l'ensemble des dents d'une roue en comptant n peut être paramétré par l'ensemble des racines nèmes de l'unité, qui a une structure de groupe naturellement isomorphe à celle de Z/nZ.

Résultat pour les anneaux

Dans les anneaux
$Z / n Z$

Le théorème chinois a également une version plus abstraite : si n₁, ..., n_k sont deux à deux premiers entre eux alors, en notant n le produit des n_i, l'application

\begin{matrix[type=embedded-definition]} \phi:&\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} &\longrightarrow& \mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/n_k\mathbb{Z}\ &\alpha &\longmapsto& (\alpha[n_1],\dots,\alpha[n_k]) \end{matrix}

est un isomorphisme d'anneau.

Pour le montrer, on remarque d'abord que les deux ensembles $Z / n Z$ et $Z / n_{1} Z \times \dots \times Z / n_{k} Z$ ont le même nombre d'éléments. Comme $ϕ$ est un morphisme d'anneau, il suffit donc de démontrer qu'il est injectif pour en déduire que c'est un isomorphisme. Pour cela, il suffit de montrer que son noyau est réduit à 0 : si α = 0[n_i] pour $i = 1, \dots, k$ , c’est-à-dire si α est un multiple de chaque n_i, alors α = 0[n], c’est-à-dire α est un multiple du produit $n_{1} \dots n_{k}$ . Ceci résulte de l'hypothèse que les n_i sont premiers entre eux deux à deux.

Dans le cas où les n_i ne sont pas premiers entre eux, n est leur ppcm et le morphisme ci-dessus n'est qu'injectif. Il existe une solution au problème initial si et seulement si les données sont dans l'image, c'est-à-dire que le pgcd de n_i et n_j divise α_i − α_j pour tout couple i,j.

Dans un anneau principal

Pour un anneau principal R, le théorème des restes chinois prend la forme suivante : Si u₁, ..., u_k sont les éléments de R qui sont premiers entre eux deux à deux, et u désigne le produit u₁...u_k, alors l'anneau R/uR et l'anneau produit R/u₁R x ... x R/u_kR sont isomorphes par l'isomorphisme

f : R / u R \to R / u_{1} R \times \dots \times R / u_{k} R

tel que

x mod u R \to (x mod u_{1} R) \times \dots \times (x mod u_{k} R)

L'isomorphisme inverse peut être construit comme ceci. Pour chaque i, les éléments u_i et u/u_i sont premiers entre eux, et par conséquent, il existe des éléments r et s dans R avec

r**u_i + s**u / u_i = 1

Fixons e_i = s u/u_i. On a :

e_{i} \equiv 1 (mod u_{i}) et e_{i} \equiv 0 (mod u_{j})

pour j ≠ i.

Alors l'inverse est la transformation

g : R / u_{1} R \times \dots \times R / u_{k} R \to R / u R

telle que

(a_{1} mod u_{1} R) \times \dots \times (a_{k} mod u_{k} R) \to i = 1.. k \sum a_{i} e_{i} (mod u R)

Résultat pour les anneaux généraux

Une des formes les plus générales du théorème des restes chinois peut être formulée en termes d'anneau et d'idéal (à gauche ou à droite). Si R est un anneau et I₁, ..., I_k des idéaux de R qui sont deux à deux premiers entre eux (ce qui signife que I_i + I_j = R lorsque i ≠ j), alors l'idéal produit I de ces idéaux est égal à leur intersection, et l'anneau quotient R/I est isomorphe à l'anneau produit R/I₁ x R/I₂ x ... x R/I_k via l'isomorphisme de R / I dans $R / I_{1} \times \dots \times R / I_{k}$ qui à $x mod I$ associe $(x mod I_{1}) \times \dots \times (x mod I_{k})$ .

Exemple des polynômes

Un cas fréquent illustrant le paragraphe précédent est donné par l'anneau $K [X]$ des polynômes. Si x₀, x₁, ..., x_n sont n+1 éléments de $K$ distincts deux à deux, alors on peut prendre U_i = X - x_i . Les polynômes U_i sont premiers entre eux deux à deux, et le théorème des restes chinois s'applique. On prend pour E_i les polynômes interpolateurs de Lagrange, définis par : $E_{i} = \frac{( X - x _{0} ) ( X - x _{1} ) ... ( X - x _{i - 1} ) ( X - x _{i + 1} ) ... ( X - x _{n} )}{( x _{i} - x _{0} ) ( x _{i} - x _{1} ) ... ( x _{i} - x _{i - 1} ) ( x _{i} - x _{i + 1} ) ... ( x _{i} - x _{n} )}$ .

Pour j différent de i, E_i est divisible par U_j , de sorte que E_i ≡ 0 modulo U_j . Par ailleurs, modulo U_i , X ≡ x_i , de sorte que E_i ≡ 1 modulo U_i .

Dire qu'un polynôme P est tel que P(x_i) = y_i pour tout i, est équivalent à dire que P ≡ y_i modulo U_i . Un tel polynôme P est donné par $P = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} E_{i}$ , ce qu'on peut vérifier par un calcul direct.

Utilisations

Le théorème des restes chinois est utilisé en particulier dans l'algorithme RSA en cryptographie, il intervient aussi dans L'algorithme de Silver-Pohlig-Hellman (en) pour le calcul du logarithme discret.

Il permet de représenter de grands nombres entiers comme n-uplets de restes de divisions euclidiennes. Sous cette forme, des opérations comme l'addition ou la multiplication peuvent se faire en parallèle en temps constant (pas de propagation de retenue). Par contre, la comparaison ou la division ne sont pas triviales.