Théorie ergodique

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Introduction

La théorie ergodique est une branche des mathématiques née de l'étude de l'hypothèse ergodique formulée par le physicien Ludwig Boltzmann en 1871 pour sa théorie cinétique des gaz. Elle a connu de nombreux développements en relation étroite avec la théorie des systèmes dynamiques et la théorie du chaos.

Notations

Dynamique discrète

L'objet d'étude en théorie ergodique est un triplet ((X,B),μ,Φ) où :

(X,B) est un espace mesurable, (c’est-à-dire que B est une tribu sur X)
μ une mesure sur (X,B),
$ϕ : X \to X$ une application préservant la mesure μ, c’est-à-dire telle que :

L'application $ϕ : X \to X$ engendre une dynamique discrète : partant d'un point $x_{0} \in X$ , on obtient successivement x₁ = φ(x₀), puis x₂ = φ(x₁) = φ(x₀), et ainsi de suite.

Dynamique continue

On peut étendre l'étude au cas d'une dynamique continue en remplaçant l'application $ϕ : X \to X$ précédente par un flot sur X, c’est-à-dire un groupe continu à un paramètre $ϕ_{t} : X \to X$ tel que :

Ce cas est particulièrement important puisqu'il inclut le flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi que le flot géodésique.

Flot ou « cascade » ?

Le cas continu englobe le cas discret, car on peut toujours construire une application discrète à partir d'un flot continu, en posant par exemple φ = φ_{t = 1} pour l'unité de temps. Poursuivant l'analogie avec le vocabulaire de l'hydrodynamique, l'application discrète est alors parfois baptisée « cascade » par certains mathématiciens.

Définition de l'ergodicité

L'application $φ : X \to X$ est dite ergodique pour une mesure donnée si et seulement si tout ensemble mesurable invariant sous $φ$ est de mesure nulle, ou de complémentaire de mesure nulle.

L'ergodicité capture la notion d'irréductibilité en théorie de la mesure : pour toute partition d'un système dynamique ergodique en deux sous-systèmes invariants, l'un des deux est trivial ou négligeable, au sens où il vit sur un ensemble de mesure nulle.

Une application satisfaisant cette propriété était autrefois également dite « métriquement transitive ».

Théorème ergodique de Birkhoff

Moyenne temporelle & moyenne microcanonique

Soit f une « bonne » fonction sur X. On définit sa valeur moyenne temporelle par la limite (si elle existe) :

Elle dépend a priori de la condition initiale x₀. On peut également définir la moyenne spatiale de f, ou moyenne microcanonique, par :

La moyenne spatiale et la moyenne temporelle n'ont a priori pas de raison d'être égales.

Théorème de Birkhoff (1931)

Lorsque l'application φ est ergodique, moyenne spatiale et moyenne temporelle sont égales presque partout. Ce résultat constitue le célèbre théorème ergodique de Birkhoff .

Temps de séjour moyen

Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable de X. On appelle temps de séjour dans A le temps total passé par le système dynamique dans A au cours de son évolution. Une conséquence du théorème ergodique est que le temps de séjour moyen est égal au rapport de la mesure de A par la mesure de X :

où χ_A est la fonction indicatrice de A.

Récurrences

Théorème de récurrence de Poincaré

Récurrence d'un point : Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable. Un point $x \in A$ est dit récurrent par rapport à A si et seulement s'il existe une infinité d'entiers $k \geq 1$ pour lesquels :

Théorème de récurrence de Poincaré : Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable de mesure strictement positive. Alors, presque tous les points $x_{0} \in A$ sont récurrents par rapport à A.

Temps de récurrence moyen

Un instant k tel que φ(x) est dans un ensemble mesurable A est appelé instant d'occurrence de A. Ces instants d'occurrence peuvent être classés par ordre croissant dans un ensemble dénombrable : ${k_{0}, k_{1}, \dots, k_{i}, \dots}$ avec k_{i + 1} > k_i.
Les différences positives r_i = k_i − k_{i − 1} entre deux instants d'occurrence consécutifs sont appelés les durée de récurrence de A.

Une conséquence du théorème ergodique est que la durée moyenne de récurrence de A est inversement proportionnelle à la mesure de A , sous l'hypothèse que la condition initiale x appartient à A, de telle sorte que k₀ = 0.

Ainsi, plus l'ensemble A est « petit » et plus il faut attendre longtemps en moyenne avant d'y retourner. Malheureusement, ce résultat ne nous renseigne pas sur l'écart-type de la distribution des temps de récurrence. Par exemple, pour le modèle des urnes d'Ehrenfest, Kac a pu démontrer que cet écart-type tendait vers l'infini lorsque le nombre de boules du modèle tendait vers l'infini, de telle sorte que des fluctuations importantes autour de la durée moyenne de récurrence devenaient de moins en moins improbables.

Hiérarchie ergodique

Système mélangeant

On dit que le système $(Ω, F, μ, T)$ est mélangeant si quels que soient les événements (ensembles) A et B dans $F$ , la corrélation

$μ (A \cap T^{- n} (B)) - μ (A) μ (B)$ tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Hyperbolicité et système d'Anosov

Système de Bernoulli

La hiérarchie ergodique

Exemple : le flot ergodique sur une variété

L'ergodicité du flot géodésique sur une variété à courbure négative a été découverte par Hopf en 1939.
La relation entre le flot géodésique et les sous-groupes à un paramètre de SL2(R) a été établie par Fomin et Gelfand en 1952.
L'ergodicité du flot géodésique sur les espaces symétriques a été établie par Mautner en 1957.
Un critère simple pour l'ergodicité d'un flot homogène sur un espace homogène d'un groupe de Lie semi-simple a été établi par Moore en 1966.
Beaucoup des théorèmes et résultats de ce domaine d'étude sont typiques de la théorie de la rigidité
Les flots d'Anosov constituent un exemple de flots ergodiques sur SL2(R) et, plus généralement, sur une surface de Riemann à courbure négative. La plupart des développements à ce sujet se généralisent à des variétés hyperboliques à courbure négative constante, celles-ci pouvant être vues comme l'espace quotient d'un espace hyperbolique simplement connexe par un groupe discret de SO(n,1).