Tonneau (formules)

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Introduction

Pour trouver la capacité d'un tonneau, ou jaugeage, beaucoup de formules ont été proposées, mais aucune ne donne exactement le volume. Après un rappel historique des différents auteurs, d'autres formules seront expliquées et proposées. Des formules complémentaires, en fonction de la hauteur de liquide, ou encore relatives aux surfaces, seront également présentées.

Quelques formules historiques

Kepler a donné une formule approchée

V = \frac{π L}{12} (D^{2} + D d + d^{2})

Oughtred a modifié la formule :

V = \frac{π L}{12} (2 D^{2} + d^{2})

Une instruction du ministère de l’intérieur en pluviôse de l’an VII fixa la formule suivante :

V = \frac{π L}{4} (d + \frac{2}{3} (D - d))^{2}

Ou encore : $V = \frac{π L}{36} (2 D + d)^{2}$

Dez a établi la formule :

V = \frac{π L}{4} (d + \frac{3}{8} (D - d))^{2}

Ou encore : $V = \frac{π L}{256} (5 D + 3 d)^{2}$

Les Douanes emploient la formule :

V = 0,625C

Dans laquelle C représente la diagonale allant du trou de bonde au point le plus éloigné de ce trou. Elle est très rapide, car elle n’exige qu’une seule mesure. On peut même avoir immédiatement le volume en marquant sur une règle les volumes calculés d’après les C correspondants.

Calcul

La forme générale des tonneaux consiste en une surface de révolution engendrée par une portion de courbe et terminée par deux plans parallèles équidistants de l’équateur. Cette courbe génératrice passe par trois points.

V = \int S d x

Où S est la surface du disque de rayon y

V = 2 π \int_{0}^{\frac{L}{2}} y^{2} d x

Exemples :

Parabole

C'est une courbe passant par trois points très commode en mathématiques.

Et la parabole s’exprime par : y = a**x + b

Avec $a = \frac{2 ( d - D )}{L ^{2}}$ et $b = \frac{D}{2}$

Le polynôme s’intègre facilement, et on obtient : $V = \frac{π L}{60} (8 D^{2} + 3 d^{2} + 4 D d)$

Ellipse

Elle a pour équation :

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

Où $a = \frac{L}{2 1 - ( \frac{d}{D} ) ^{2}}$ et $b = \frac{D}{2}$

D'où la formule

$V = 2 π b^{2} \int_{0}^{\frac{L}{2}} (1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}}) d x$ s'intègre facilement elle aussi, et on obtient

V = \frac{π L}{12} (2 D^{2} + d^{2})

On retrouve la formule d'Oughtred.

Cercle

C'est la courbe qui vient immédiatement à l'esprit, car elle est facile à tracer au compas, mais elle est difficile à manipuler. L'équation s'exprime par :

x + (y − b) = R

avec $b = \frac{D ^{2} - d ^{2} - L ^{2}}{4 ( D - d )}$ et $R = \frac{( D - d ) ^{2} + L ^{2}}{4 ( D - d )}$

V = 2 π \int_{0}^{\frac{L}{2}} (b + R^{2} - x^{2})^{2} d x

Droite

Plus simplement on peut prendre deux droites génératrices. On obtient deux troncs de cône.

V = \frac{π L}{12} (D^{2} + D d + d^{2})

C'est la formule de Kepler.

Résistance des matériaux

Une poutre sur deux appuis simples ou une poutre encastrée se déforme en flexion selon une courbe :

y = \frac{D - d}{2} (4 (\frac{x}{L})^{3} - 3 \frac{x}{L}) - \frac{d}{2}

V = \frac{π L}{560} (68 D^{2} + 33 d^{2} + 36 d D)

Autres formules

Cosinus

y = acosb**x avec $a = \frac{D}{2}$ et $b = \frac{2}{L} arccos \frac{d}{D}$

V = 2 π \int_{0}^{\frac{L}{2}} \frac{D ^{2}}{4} cos^{2} b x d x

V = \frac{π D ^{2} L}{8} (1 + \frac{\frac{d}{D} 1 - ( \frac{d}{D} ) ^{2}}{arccos \frac{d}{D}})

Cosinus hyperbolique

y = acoshb**x avec $a = \frac{d}{2}$ et $b = \frac{2}{L} argcosh \frac{D}{d}$

V = 2 π \int_{0}^{\frac{L}{2}} (\frac{D + d}{2} - a cosh^{2} b x) d x

V = π L (\frac{D + d}{2})^{2} + \frac{d ^{2}}{8} - \frac{d}{8} (3 D + 4 d) \frac{( \frac{D}{d} ) ^{2} - 1}{argcosh \frac{D}{d}}

Hyperbole

\frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{x ^{2}}{a ^{2}} = 1

Où $a = \frac{L}{2 ( \frac{D}{d} ) ^{2} - 1}$ et $b = \frac{d}{2}$

V = π L [(\frac{D + d}{2})^{2} + \frac{d ^{2}}{6} + \frac{D ^{2}}{12} - \frac{d ( D + d )}{4 ( \frac{D}{d} ) ^{2} - 1} \frac{D}{d} (\frac{D}{d})^{2} - 1 + argsinh (\frac{D}{d})^{2} - 1]

Tonneau à section elliptique

Soient A et B les diamètres de la section elliptique du bouge, et soient a et b les diamètres des fonds.

Si on a des paraboles comme génératrices, on a les formules :

Dans le plan x0y :

y = \frac{2 ( a - A )}{L ^{2}} x^{2} + \frac{A}{2}

Dans le plan x0z :

z = \frac{2 ( b - B )}{L ^{2}} x^{2} + \frac{B}{2}

V = 2 \int_{0}^{\frac{L}{2}} π y z d x

V = \frac{π L}{60} (3 ab + 2 a B + 2 A b + 8 A B)

Si on a des ellipses comme génératrices

Dans le plan xOy on a l’ellipse $\frac{x ^{2}}{α ^{2}} + \frac{y ^{2}}{β ^{2}} = 1$

Où $α = \frac{L}{2 1 - ( \frac{a}{A} ) ^{2}}$ et $β = \frac{A}{2}$

Dans le plan xOz on a l’ellipse $\frac{x ^{2}}{γ ^{2}} + \frac{z ^{2}}{δ ^{2}} = 1$

Où $γ = \frac{L}{2 1 - ( \frac{b}{B} ) ^{2}}$ et $δ = \frac{B}{2}$

V = 2 \int_{0}^{\frac{L}{2}} π y z d x

V = \frac{π}{2 L ^{2}} \int_{0}^{\frac{L}{2}} (L^{2} A^{2} - 4 (A^{2} - a^{2}) x^{2}) (L^{2} B^{2} - 4 (B^{2} - b^{2}) x^{2}) d x

Volume partiel en fonction de la hauteur de liquide

La génératrice est la parabole d'équation : $y = \frac{2 ( d - D )}{L ^{2}} x^{2} + \frac{D}{2}$

Pour un tonneau couché

Soit h la hauteur de liquide

Soit x₁ et x₂ les bornes maximales selon les valeurs de h

$x_{1} = \frac{h L ^{2}}{2 ( D - d )}$ et $x_{2} = \frac{( D - d ) L ^{2}}{2 ( D - d )}$

V = \int S d x

Où S représente le segment circulaire, de rayon y, de flèche $y - \frac{D}{2} + h$ .

S = y^{2} arccos \frac{D - 2 h}{2 y} - \frac{D - 2 h}{2 y} 1 - (\frac{D - 2 h}{2 y})^{2}

Si $h \leq \frac{D - d}{2}$ , alors

V = \int_{0}^{x_{1}} 2 S d x

Si $\frac{D - d}{2} \leq h \leq \frac{D + d}{2}$ , alors

V = \int_{0}^{\frac{L}{2}} 2 S d x

Si $h \geq \frac{D + d}{2}$ , alors

V = \int_{0}^{x_{2}} 2 S d x + \int_{x_{2}}^{\frac{L}{2}} 2 π y^{2} d x

Pour un tonneau debout

V = \int_{\frac{L}{2} - h}^{\frac{L}{2}} π y^{2} d x

V = π [\frac{4 ( d - D ) ^{2}}{5 L ^{4}} ((\frac{L}{2})^{5} - (\frac{L}{2} - h)^{5}) + \frac{2 D ( d - D )}{3 L ^{2}} ((\frac{L}{2})^{3} - (\frac{L}{2} - h)^{3}) + h (\frac{D}{2})^{2}]

Surfaces

On considère ici aussi la parabole comme génératrice. Soit S₁ cette surface

S_{1} = 2 \int_{0}^{\frac{L}{2}} 2 π y d s

où ds est la différentielle de l'abscisse curviligne.

d s = 1 + y^{'2} d x

S_{1} = 4 π \int_{0}^{\frac{L}{2}} (a x^{2} + b) 1 + 4 a^{2} x^{2} d x

L'intégration se fait par le changement de variable : 2a**x = sinht

On arrive à :

S_{1} = \frac{π L}{4} [\frac{4 ( d - D ) ^{2}}{L ^{2}} + 1 (d + D + \frac{L ^{2}}{8 ( d - D )}) + \frac{L}{d - D} (D - \frac{L ^{2}}{16 ( d - D )}) argsinh \frac{2 ( d - D )}{L}]

Puis on ajoute les deux fonds : $S_{2} = \frac{π d ^{2}}{2}$

S = S₁ + S₂

Surfaces partielles

Surface du tonneau en contact avec le liquide

Tonneau couché

Si $h \leq \frac{D - d}{2}$ , alors

S = \int_{0}^{x_{1}} 4 y arccos \frac{D - 2 h}{2 y} 1 + 4 a^{2} x^{2} d x

Si $\frac{D - d}{2} \leq h \leq \frac{D + d}{2}$ , alors

S = \int_{0}^{\frac{L}{2}} 4 y arccos \frac{D - 2 h}{2 y} 1 + 4 a^{2} x^{2} d x + \frac{1}{2} (d^{2} (arccos \frac{D - 2 h}{d} - (D - 2 h) d^{2} - (D - 2 h)^{2}))

Si $h \geq \frac{D + d}{2}$ , alors

S = \int_{0}^{x_{2}} 4 y arccos \frac{D - 2 h}{2 y} 1 + 4 a^{2} x^{2} d x + \int_{x_{2}}^{\frac{L}{2}} 4 π (a x^{2} + \frac{D}{2}) 1 + 4 a^{2} x^{2} d x + \frac{π d ^{2}}{2}

Tonneau debout

0 < h < L et en tenant compte d'un fond :

S = 2 π \int_{\frac{L}{2} - h}^{\frac{L}{2}} (a x^{2} + \frac{D}{2}) 1 + 4 a^{2} x^{2} d x + π \frac{d ^{2}}{4}

Si h = 0 alors S = 0. Et si h = L le tonneau est plein. Voir supra.

S = \frac{π L}{8} [\frac{4 ( d - D ) ^{2}}{L ^{2}} + 1 (d + D + \frac{L ^{2}}{8 ( d - D )}) - \frac{L - 2 h}{L} \frac{4 ( d - D ) ^{2} ( L - 2 h ) ^{2}}{L ^{4}} + 1 (\frac{( d - D ) ( L - 2 h ) ^{2}}{L ^{2}} + \frac{L ^{2}}{8 ( d - D )} + 2 D) + \frac{L}{d - D} (D - \frac{L ^{2}}{16 ( d - D )}) (argsinh \frac{2 ( d - D )}{L ^{2}} - argsinh \frac{2 ( d - D ) ( L - 2 h )}{L ^{2}})] + \frac{π d ^{2}}{4}

Surface de liquide en contact avec l'air

Tonneau couché

La génératrice est la parabole.

La corde c au point d'abscisse x s'exprime par :

c = 4 y^{2} - (D - 2 h)^{2}

Si $h \leq \frac{D - d}{2}$ ,

S = \int_{0}^{x_{1}} 2 c d x

Si $\frac{D - d}{2} \leq h \leq \frac{D + d}{2}$ , alors

S = \int_{0}^{\frac{L}{2}} 2 c d x

Si $h \geq \frac{D + d}{2}$ , alors

S = \int_{0}^{x_{2}} 2 c d x

Tonneau debout

La génératrice est la parabole

0 < h < L

S = π y^{2} = π (\frac{2 ( d - D )}{L ^{2}} (\frac{L}{2} - h)^{2} + \frac{D}{2})^{2}

Si h = 0 le tonneau est vide, et si h = L le tonneau est plein.