Octaèdre - Définition

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Octaèdre
Octaèdre
Type Polyèdre régulier
Faces Triangle
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
8
12
6
2
Faces par sommet 4
Sommets par face 3
Isométries Oh
Dual Cube
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe

Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.

L'octaèdre régulier

Un octaèdre régulier est un solide de Platon composé de huit faces dont chacune est un triangle équilatéral, se joignant quatre à quatre à chaque sommet.

L'aire A et le volume V de l'octaèdre régulier d'arête a valent respectivement :

A=2\sqrt{3}a^2 \quad {et} \quad V={1\over3}\sqrt{2}a^3

L'octaèdre régulier est un genre spécial d'antiprisme triangulaire et de bipyramide carrée.

Patron de l'octaèdre régulier
Patron de l'octaèdre régulier

C'est aussi le dual du cube, c'est-à-dire que c'est le polyèdre obtenu en prenant pour sommets les milieux des faces d'un cube, et en joignant les sommets correspondant à des faces adjacentes. En conséquence, on peut faire correspondre aux sommets et aux faces de l'octaèdre les faces et les sommets du cube.

Les coordonnées canoniques pour les sommets d'un octaèdre centré à l'origine sont (±1,0,0), (0, ±1, 0), (0,0,±1).

L'octaèdre articulé

Il existe des octaèdres flexibles, ce sont les polyèdres déformables de taille minimale. Comme l'a prouvé Cauchy, ils ne peuvent pas être convexes.

Voir Bricard R. Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé, in Journal de Mathématiques pures et appliquées, Liouville, tome 3:113-148, 1897


Les solides géométriques
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