Affinité (mathématiques)

En mathématiques, en géométrie en particulier, une affinité est une application affine ou linéaire égale à l'identité dans une direction et à une homothétie dans une autre.

Les affinités vectorielles sont les endomorphismes qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie. Plus précisément :

Soit $E$ un espace vectoriel et deux sous espaces supplémentaires $F$ et $G$ ($E=F\oplus G$) ;

l'affinité de base $F$ (ou sur $F$), de direction $G$ et de rapport $\lambda$ est l'unique endomorphisme $f$ qui se restreint à $F$ en l'identité, et à $G$ en l'homothétie de rapport $\lambda$ :

Si $x=x_F+x_G$ alors $f(x)=x_F+\lambda x_G$.

Caractérisation en dimension finie : endomorphisme diagonalisable ayant deux valeurs propre au plus dont une est l'unité.

Les affinités recouvrent :

• l'identité ($\lambda =1$)
• les projections, ou projecteurs ($\lambda =0$)
• les symétries, ou involutions linéaires ($\lambda =-1$), se réduisant à l'identité si la caractéristique du corps est 2)
• les homothéties ( $G=E$)
• les dilatations, ou affinités hyperplanes, ($\dim G=1$).

Étant donné un sous-espace affine $F$ d'un espace affine $E$ associé à $\overrightarrow{E}$ et une direction supplémentaire $\overrightarrow{G}$, l'affinité de base $F$ (ou sur $F$) de direction $\overrightarrow{G}$ et de rapport λ est l'application définie par la construction :

1. pour tout point $M$ dans $E$ on trace l'unique sous-espace $G_M$ passant par $M$ et de direction $\overrightarrow{G}$ ;
2. $G_M$ coupe $F$ en un point unique $H$ ;
3. l'image de $M$ par $f$ est alors le point $M^{\prime }$ tel que $\overrightarrow{H{M}^{\prime }}=\lambda \overrightarrow{HM}$.

Les applications affines de partie linéaire une affinité vectorielle sont des affinités ponctuelles à condition d'avoir au moins un point fixe ; dans le cas général, on obtient des affinités glissées, composées d'une affinité et d'une translation de vecteur parallèle à la direction de l'affinité.