Ostrowski est l'auteur d'importantes contributions en mathématiques, particulièrement dans le domaine de l'Analyse. En 1920 il démontra que les séries de Dirichlet dont les coefficients ne s'expriment pas sur une base finie ne sont solution d'aucune équation différentielle algébrique, résolvant par là-même l'un des problèmes de Hilbert (Hilbert n'avait, lui, traité que le cas particulier de la fonction zêta de Riemann).
On désigne souvent sous le nom de théorème d'Ostrowski les deux corollaires suivants de celui de ses théorèmes selon lequel les seules valeurs absolues non-ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x↦∣f(x)∣c, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0<c≤1 :
- toute valeur absolue non triviale sur le corps Q des rationnels est topologiquement équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques, définies chacune pour un nombre premier p ;
- tout corps complet pour une valeur absolue archimédienne est algébriquement et topologiquement isomorphe au corps R des nombres réels ou au corps C des nombres complexes. Autrement dit : il n'existe aucune extension de corps (stricte) des nombres complexes sur laquelle on peut prolonger la fonction « valeur absolue ». Le théorème de Gelfand-Mazur généralise cet énoncé aux algèbres de Banach complexes.
Ostrowski est aussi l'un des grands noms de l'analyse numérique, où il a apporté des résultats précis sur la convergence de différents algorithmes et sur l'analyse numérique matricielle. Il a en outre imaginé plusieurs schémas stables qui portent toujours son nom.
Le Prix Ostrowski récompense tous les deux ans une contribution exceptionnelle aux mathématiques.
