Problèmes de Hilbert

Lors du deuxième congrès international des mathématiciens tenu à Paris en 1900, David Hilbert présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert, marquer le cours des mathématiques du XX siècle, et l'on peut dire aujourd'hui que cela a été grandement le cas. La liste définitive fut publiée après la tenue du congrès et est aujourd'hui familièrement appelée problèmes de Hilbert.

Les sections suivantes présentent brièvement chaque problème.

Tout sous-ensemble infini des réels peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels ou avec l'ensemble des réels lui-même.

Il s'agit de l'hypothèse du continu de Cantor. Ce résultat aurait eu pour conséquence que le cardinal infini qui suit immédiatement le dénombrable, est celui du continu.

Kurt Gödel a montré en 1938 que l'on ne pouvait pas démontrer la négation de l'hypothèse du continu dans la théorie des ensembles ZFC, et Paul Cohen en 1963 que l'on ne pouvait pas non plus la démontrer (dans cette même théorie) : on dit que cette conjecture est indécidable dans la théorie ZFC (ou indépendante de celle-ci).

Comme on considère que la théorie ZFC permet largement de formaliser le développement des mathématiques jusqu'à aujourd'hui, la question peut paraître réglée. Cependant, l'existence d'axiomes supplémentaires « naturels » qui s'ajouteraient à la théorie ZFC et pourraient décider l'hypothèse du continu reste un domaine de recherche.

Peut-on prouver la cohérence de l'arithmétique ? En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires ?

Gödel montra en 1931, via son théorème d'incomplétude, que cela ne pouvait être démontré sans sortir de l'arithmétique. Gerhard Gentzen, cependant, donna, en 1936, une réponse affirmative au moyen d'une récurrence transfinie.

Étant donnés deux polyèdres d'égal volume, peut-on découper le premier polyèdre en des polyèdres et les rassembler pour former le second polyèdre ?

Max Dehn, élève de Hilbert, montra que non, en 1902, en démontrant qu'il était impossible de diviser un cube et un tétraèdre régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à deux identiques. Malgré tout, le paradoxe de Banach-Tarski constitue un résultat positif pour cette question si l'on n'exige pas que les morceaux intermédiaires soient des polyèdres et surtout si l'on suppose l'axiome du choix.

Définir toutes les géométries dont la plus courte distance entre deux points est un segment de droite.

La géométrie différentielle a permis de répondre en partie à ce problème, bien que l'on ne puisse pas à proprement parler de réponse ferme.

Démontrer que les groupes de Lie sont nécessairement différentiables.

Le théorème de Gleason-Montgomery-Zippin en 1953 y répondit par l'affirmative.

L'axiomatisation, fondée sur le modèle mathématique, de la physique.

Du fait de l'apparition de la théorie de la relativité et de la mécanique quantique, le problème fut vite obsolète. Malgré tout, la physique théorique et les mathématiques ne cessent de se rapprocher. En axiomatisant la théorie des probabilités, Kolmogorov a résolu en partie ce problème.

Démontrer la transcendance des nombres a, avec a algébrique différent de 0 et 1, et b algébrique irrationnel (par exemple $2^{\sqrt{2}})$.

Les travaux de Gelfond et de Schneider ont permis de résoudre ce problème (voir Théorème de Gelfond-Schneider). Ce résultat a été généralisé par Baker (voir Théorème de Baker).

Démontrer l'hypothèse de Riemann.

Malgré les progrès faits notamment par Deligne qui démontra les conjectures de Weil, et reçut pour cela la médaille Fields en 1978, on est encore loin d'avoir résolu ce problème, qui s'annonce comme celui du XXI siècle.

Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques.

Une réponse à ce problème est apportée par la loi de réciprocité d'Artin, démontrée par celui-ci en 1927.Ce théorème enrichit la connaissance de la théorie des corps de classes, dont le développement fut facilité par l'introduction des idèles par Chevalley en 1936.

Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.

Il fallut attendre les travaux de Church et Turing en 1930 pour définir rigoureusement la notion d'algorithme. En 1970, Yuri Matijasevic, établissant une équivalence entre les ensembles récursivement énumérables et les ensembles diophantiens, a établi qu'un tel algorithme ne pouvait pas exister.

Classer les formes quadratiques à coefficients dans les anneaux d'entiers algébriques.

Le théorème de Hasse-Minkowski résout le problème sur $\mathbb{Q}$, et Siegel le résolut sur d'autres anneaux intègres.

Prolonger le théorème de Kronecker sur les corps non-abéliens.

Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du septième degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.

Plus généralement, il s'agit d'étudier les fonctions continues (et, en fait, les fonctions continues de trois variables) qui ne peuvent pas s'exprimer par composition à partir de fonctions continues de deux variables. En 1954, Kolmogorov et son élève Vladimir Arnold ont montré que cette classe était vide : il existe n(2n + 1) fonctions continues universelles Φ_i**j (de [0;1] dans [0;1]) telles que pour toute fonction continue $f:[0;1{]}^n\to [0;1]$, il existe 2n + 1 fonctions continues $g_j:[0;1]\to [0;1]$ telles que $f(x_1,\dots ,x_n)={\sum }_{j=1}^{2n+1}{g}_j\left({\sum }_{i=1}^n{\Phi }_{ij}(x_i)\right)$. En revanche, la question de la résolubilité de l'équation du septième degré par des fonctions analytiques de deux variables est encore ouverte.

Prouver le caractère fini de certains systèmes complets des fonctions.

Le problème est le suivant : on considère un corps k et un sous-corps K de $E=k(X_1,\dots ,X_n)$ ; on pose $R=k[X_1,\dots ,X_n]$ ; l'anneau $K\cup R$ est-il une k-algèbre de type fini ? La réponse est négative, comme l'a montré Zariski (qui donna l'interprétation géométrique suivante : il existe une variété projective X de corps des fonctions K et un diviseur effectif D sur X tel que $K\cup R$ soit l'ensemble des fonctions de K n'ayant de pôles que sur R). Cependant, la recherche de conditions suffisantes pour la validité du résultat d'Hilbert a été source d'idées très fécondes en géométrie.

Nagata donna en 1959 un contre-exemple qui montra la fausseté de la conjecture.

Mettre en place les bases du calcul énumératif de Hermann Schubert.

Il s'agit là de rendre rigoureux certains calculs sur les objets « en position générale » en théorie de l'intersection, et en particulier le « principe de conservation des nombres ». Ce problème a donné naissance aux théories de la multiplicité de Samuel et Grothendieck.

Résolu par van der Waerden en 1930.

Ce problème comporte deux parties. La première concerne le nombre de branches réelles (ovales) d'une courbe algébrique, et leur disposition ; de nombreux résultats modernes (Petrovskii, Thom, Arnold) apportent des informations à leur sujet.

La seconde partie du problème pose la question du nombre maximal et de la position mutuelle des cycles limites de Poincaré (orbites périodiques isolées) pour une équation différentielle polynomiale plane de degré donné ; cette question est encore ouverte.

Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.

Résolu par Emil Artin en 1927. Une démonstration par la théorie des modèles a été trouvée par le logicien Abraham Robinson.

Construire un espace euclidien avec des polyèdres congruents.

Le problème comporte trois parties.

• Premièrement, montrer qu'il n'existe à isomorphisme près qu'un nombre fini de groupes discrets d'isométries de ${\mathbb{R}}^n$ admettant un domaine fondamental compact ; cette question fut résolue par Ludwig Bieberbach en 1910.
• Deuxièmement, la question de l'existence de polyèdres qui ne sont pas des groupes fondamentaux, mais qui peuvent cependant paver l'espace ; de tels polyèdres furent construits par Reinhardt et Heesch dans les années trente.
• Troisièmement, ce problème comporte aussi la fameuse conjecture de Kepler sur l'empilement des sphères dans l'espace, résolue en 1998 par Thomas Hales.

Prouver que le calcul des variations est toujours nécessairement analytique.

Résolu par Bernstein et Radó (en) en 1929.

Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite.

Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fuchs.

Résolu par Helmut Rörl en 1957.

Uniformiser des courbes analytiques au moyen de fonctions automorphes.

Résolu par Koebe et Henri Poincaré en 1907.

Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.