Alvéole d'abeille

Les alvéoles d’abeilles, construits en cire par les abeilles ouvrières afin de stocker le miel et le pollen ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire. Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonaux se rejoignant en leur base.

Mais ce qui est vraiment surprenant, c’est la forme plus que singulière de ces alvéoles. L’autre extrémité de ces cellules n’est pas un hexagone régulier, mais un emboîtement de trois losanges identiques, appelés rhombes. Les prismes ne se raccordent donc pas par leur surface hexagonale, mais justement par ces losanges, chaque cellule étant adossée, décalée, à trois autres au moyen de ces surfaces.

La construction de l’alvéole commence par le fond. L’épaisseur des parois est infime (moins de 300 micromètres, c’est diaphane-translucide), seul le bord supérieur est plus épais, pour éviter l’effritement.

La forme hexagonale des alvéoles fut repérée par Aristote dès le IV siècle av. J.-C. (Histoire des animaux) puis traitée géométriquement huit siècles plus tard par Pappus, mathématicien grec ; mais ce n’est qu’au XVIII siècle que cette forme rhomboïdale fut remarquée. Ainsi, Maraldi, astronome à l’Observatoire de Paris, détermina expérimentalement en 1712 la valeur des angles de ces rhombes, égale à 109°28′ et 70°32′.

Intrigué par la complexité de ces formes, le physicien Réaumur soupçonne les abeilles de construire leur gâteau de cire dans un souci d’économie (voir l’article Apiculture). Afin de vérifier son hypothèse, il demanda au géomètre allemand König de déterminer quelle était la cellule hexagonale à fond composé de trois rhombes égaux qui pouvait être construite avec le moins de matière possible. Par calcul différentiel, König trouva en 1739 que les angles de ces losanges devaient être égaux à 109°26′ et 70°34′. La correspondance de ce résultat avec celui de Maraldi est déjà étonnante, mais elle fut améliorée en 1734 par le mathématicien écossais Maclaurin qui démontra que König avait commis une erreur dans ses calculs, et que les angles des losanges correspondant à l’utilisation d’un minimum de matière étaient justement ceux indiqués par Maraldi : 109°28′ et 70°32′ [les valeurs mathématiques optimales sont égales respectivement à Arc cos (-1/3) et Arc cos (1/3)]. c’est bien l’angle des faces de contact de 4 bulles de savon qui se rencontrent en un point. Les bulles de savon réalisent toujours, à cause de leur tension superficielle, la surface minimale à contrainte de contour donné.

C’est Réaumur qui propose l’idée originale et avant-gardiste de prendre comme unité de mesure le côté du pavage hexagonal et regrette beaucoup qu’il n’en fût pas fait de mesure dans les civilisations anciennes, car cela aurait donné une traçabilité des unités de mesure.

On retrouve sur ce problème : Lhuillier (Berlin, 1781), Lalanne (Ann.sc.nat. 1840), Brougham (CRAS, 1858) et Hennessy (proc. roy. soc. London, 1886), avec évidemment Buffon et Plateau. Buffon commet une erreur : son idée, souvent reprise hélas, est FAUSSE : qu’on comprime simultanément deux ensemble de cylindres de cire allongés ; ils prendront cette forme hexagonale. C’est possible, mais les abeilles ne procèdent pas de cette manière (HUBER, Paris, 1814, observation des abeilles) : elles commencent par construire le fond, puis les faces des cylindres hexagonaux ! Elles ont donc en elles une adaptation à la construction d’un tel gaufrage du fond. Cela procède certes du tassement simultané en recto-verso de la cire, et l’explication de Buffon n’est donc pas à négliger, mais cela ne correspond pas à une situation de toutes les alvéoles, ensemble, comme on le voit écrit parfois.

Le premier souci des abeilles est de paver le plan pour pouvoir ensuite paver l’espace. On connaît trois polygones réguliers permettant de paver le plan : le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone. Or, on peut démontrer que, parmi ces trois polygones réguliers, pour une même surface, l’hexagone est le polygone régulier offrant le plus petit périmètre.

Cependant, on pourrait se demander si l’hexagone est bien le pavage du plan le plus économique. En effet, on pourrait envisager de combiner des polygones de toutes sortes, qui ne sont pas forcément réguliers ni même dont les côtés forment une ligne droite. On ne savait pas grand-chose sur ce sujet jusqu’en 1943, date à laquelle le mathématicien hongrois Fejes Tóth démontra que la structure hexagonale régulière restait le polygone le plus économique pour paver le plan parmi tous les polygones à côtés droits.

Mais que se passe-t-il lorsque les côtés sont courbes ? Fejes Tóth pensait que la structure hexagonale régulière resterait la plus efficace, mais il ne parvint pas à le démontrer.

Ce n’est qu’en 1999 que Thomas C. Hales présente sa preuve en 19 pages (Honeycomb Conjecture).

Le fond formé de trois rhombes permet un adossement simple des alvéoles. Il est même facile de prouver qu’il est plus économique qu’un fond plat hexagonal mais reste-t-il le moyen le plus économique ?

En 1964, Fejes Toth a démontré que si le fond était formé de deux petits hexagones ainsi que de deux losanges, à la place de trois rhombes, la quantité de cire serait, pour un même volume, inférieure de 0,35 % à ce qu’elle est avec les losanges.

Pour déterminer les angles des rhombes minimisant la surface, on peut déjà remarquer que le remplacement d’un fond hexagonal AB′CD′EF′ par un fond formé de 3 rhombes de diagonales AC, CE, EF, ne modifie pas le volume de l’alvéole. En effet, le volume ôté est exactement égal au volume ajouté.

Il s’agit maintenant de comparer les surfaces.

Dans un fond rhomboïdal, la surface est celle de trois losanges SABC, SCDE, SEFA

Cette surface remplace exactement la surface du fond hexagonal AB′CD′EF′ et de 6 triangles égaux au triangle AB′B.

La position de B est optimale quand aire(SABC) - 2 × aire (AB′B) est minimale.

Or la diagonale du losange se calcule aisément $AC=a\sqrt{3}$. Si on appelle P le centre du losange, l’aire de SABC est alors $AC=a\sqrt{3}PB$.

Quant au triangle AB′B, rectangle en B′, son aire vaut $\frac{1}{2}a\times B{B}^{\prime }$

La quantité aire(SABC) - 2 × aire (AB′B) sera donc minimale si le chemin $\sqrt{3}PB-B{B}^{\prime }$ est minimal

Deux méthodes sont alors possibles. L’une est accessible au niveau lycée, l’autre utilise le principe de Fermat.

Niveau lycée : on appelle x la longueur BB′, il s’agit alors de rendre minimale la quantité

Le calcul de la dérivée mène à

C’est une fonction croissante sur $\mathbb{R}+$ (car $X\mapsto \frac{3X}{X+a^2/4}$ est croissante) qui s’annule pour $\frac{x}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, c’est-à-dire lorsque $\frac{B{B}^{\prime }}{BP}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

C’est donc pour ce rapport que la fonction $f$atteint son minimum.

Principe de Fermat : il précise que le chemin $\sqrt{3}PB-B{B}^{\prime }$ est minimal lorsque $\sqrt{3}\frac{\overrightarrow{PB}}{PB}-\frac{\overrightarrow{B^{\prime }B}}{B^{\prime }B}$ est orthogonal à $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ soit lorsque $\frac{B{B}^{\prime }}{BP}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Il ne reste plus qu’à trouver les angles du losange. On appelle $\theta =\widehat{ABC}$ et $\varphi =\widehat{SAB}$

• Dans le triangle PB′B, on a

ce qui donne

• Dans le triangle APB′

• Donc, dans le losange SABC, on a
• $\frac{PA}{PB}=\sqrt{2}=\tan (\theta /2)$, ce qui donne $\cos (\theta )=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}$
• $\frac{PB}{PA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\tan (\varphi /2)$, ce qui donne$\cos (\varphi )=\frac{1-1/2}{1+1/2}=\frac{1}{3}$

soit des angles de 109°28′ et de 70°32′, comme l’a trouvé Mac Laurin.

Développement d’un alvéole d’abeille