Les séries de Fourier visent à décomposer une fonction périodique comme une « somme infinie de fonctions trigonométriques » de fréquences multiples d'une fréquence fondamentale. Dans un premier temps, on procède à l'analyse du « contenu en fréquences », appelé spectre, de la fonction. Puis, suivant les hypothèses faites sur la fonction et le cadre d'analyse choisi, on peut disposer de théorèmes permettant de recomposer f.
Un bon cadre d'étude pour les séries de Fourier est celui des espaces de Hilbert, ce qui fournit un lien entre analyse harmonique et analyse fonctionnelle.
La transformation de Fourier généralise la théorie des séries de Fourier aux fonctions non périodiques, et permet de leur associer également un spectre en fréquences. On cherche alors à décomposer une fonction quelconque en « somme infinie de fonctions trigonométriques » de toutes fréquences. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale.
La transformée de Fourier classique sur R est encore un domaine de recherche actif, en particulier la transformation de Fourier sur des objets plus généraux comme les distributions tempérées. Par exemple, si nous imposons des contraintes à une distribution f, nous pouvons les traduire sur sa transformée de Fourier. Le théorème de Paley-Wiener en est un exemple. Ce théorème a pour conséquence immédiate que si f est une distribution non nulle à support compact, alors sa transformée de Fourier n'est jamais à support compact. C'est une forme élémentaire des relations d'incertitudes de Heisenberg.