En mathématiques, une représentation irréductible est un concept utilisé dans le cadre de la théorie des représentation d'un groupe.
Une représentation irréductible est une représentation qui n'admet qu'elle-même et la représentation nulle comme sous-représentation.
Cette notion est importante car le théorème de Maschke démontre que, dans de nombreux cas, une représentation est somme directe de représentations irréductibles.
Dans toute la suite de l'article, G désigne un groupe et (V, ρ) une représentation linéaire de G sur un corps K.
Une représentation (V, ρ) est dite irréductible si et seulement si les seuls sous-espaces stables sont V et le vecteur nul.
Un caractère d'une représentation est dit irréductible si et seulement si la représentation associée l'est.
La théorie des représentations s'exprime aussi en termes de G module. V dispose naturellement d'une structure de G module, dans ce contexte, la définition prend la forme suivante :
Une représentation (V, ρ) est dite irréductible si et seulement si V est simple en tant que G module.
Une représentation (V, ρ) est dite isotypique si et seulement si les seuls sous-espaces irréductibles stables différents de la représentation nulle sont isomorphes deux à deux.
Toutes représentations de dimension un est irréductible.
Il n'existe qu'une représentation irréductible et fidèle du Groupe symétrique d'indice trois. Les articles Représentations du groupe symétrique d'indice trois et Représentations du groupe symétrique d'indice quatre contiennent une analyse exhaustive des représentations irréductibles de ces groupes.
Si V désigne un espace vectoriel réel de dimension deux et G le groupe des isométries linéaires de V, alors l'identité de G est une représentation irréductible.
Le théorème de Maschke indique que tout sous-espace irréductible de la représentation (V, ρ) est facteur direct, c'est-à-dire qu'il possède un sous-espace supplémentaire stable.
Ce théorème s'applique au moins dans deux cas importants :
Dans ce cas, V dispose d'une structure de module semi-simple. Toute représentation de degré fini de G est alors somme directe de représentations irréductible.
Les démonstrations sont données dans l'article associé.
On suppose dans ce paragraphe que G est un groupe fini g et que la caractéristique de K est soit nulle soit première avec l'ordre du groupe. Le théorème de Maschke s'applique alors. (W, σ) désigne ici une représentation irréductible de G de degré d. On suppose enfin que le polynôme X - 1 est scindé dans K.
Les caractères des représentations disposent, dans ce contexte, d'un produit hermitien canonique, il fournit une condition nécessaire et suffisante commode pour déterminer l'irréductibilité d'une représentation.
La démonstration est donnée dans l'article associé.
Soit (V, ρ) la représentation régulière de G. Elle contient toutes les représentations irréductibles de G à un isomorphisme près, plus précisément :
Cette décomposition n'est pas unique. Le nombre de sous-espaces isomorphes à W de V est en général supérieur à d, mais ils ne sont pas en somme directe. Il existe néanmoins une unique décomposition de la représentation régulière.
Cette décomposition en composantes isotypiques est unique pour toute représentation de G, elle est appelée décomposition canonique.
Les démonstrations sont données dans l'article associé.
La notion de fonction centrale, c'est-à-dire de fonction du groupe G constante sur chaque classe de conjugaison permet de déterminer exactement le nombre de représentations irréductibles :
La démonstration est donnée dans l'article associé.
L'algèbre K[G] correspond à un enrichissement de la structure algèbrique de la représentation régulière. Le centre de l'algèbre est un anneau commutatif, sur lequel il est possible d'utiliser des théorèmes d'arithmétique. Ils permettent, par exemple de démontrer les propriétés suivantes :
La démonstration est donnée dans l'article associé.
Le produit tensoriel introduit une bijection entre les représentations de deux groupes G1 et G2 et le produit direct G de G1 et G2 :
La démonstration est donnée dans l'article associé.
Dans le cas où N est un sous-groupe normal normal de G, les représentations induites permettent d'établir une relation entre (W, σ) et la restriction de σ à N :
On en déduit le corollaire suivant :
Il est de plus à noter que le critère d'irréductibilité de Mackey fournit une condition nécessaire et suffisante pour une représentation induite soit irréductible.