En mathématiques, et plus précisément en topologie, une application ouverte est une application entre deux espaces topologiques envoyant les ouverts de l'un vers des ouverts de l'autre. De même, une application fermée envoie les fermés du premier espace vers des fermés du second.
Soit deux espaces topologiques X et Y ; on dit qu'une application f de X vers Y est ouverte si pour tout ouvert U de X, l'image f(U) est ouverte dans Y ; de même, on dit que f est fermée si pour tout fermé U de X, l'image f(U) est fermée dans Y. Dans les deux cas, il n'est pas nécessaire que f soit continue ; bien que les définitions puissent paraître semblables, les applications ouvertes ou fermées jouent un rôle bien moins important en topologie que les applications continues, pour lesquelles c'est la pré-image (l'ensemble des antécédents) de tout ouvert de Y qui doit être un ouvert de X.
Tout homéomorphisme est ouvert, fermé et continu. Réciproquement, une bijection continue est un homéomorphisme si et seulement si elle est ouverte (ou, ce qui est équivalent pour une bijection, si elle est fermée). Si Y est muni de la topologie discrète (donc que tous les sous-ensembles de Y sont ouverts et fermés), toutes les applications f : X → Y sont ouvertes et fermées , mais non nécessairement continues. Ainsi, la fonction partie entière allant de R vers les entiers Z est ouverte et fermée, mais non continue. Cet exemple montre également que l'image d'un espace connexe par une application ouverte ou fermée n'est pas nécessairement connexe.
Sur tout produit d'espaces topologiques X=ΠXi, les projections canoniques pi : X → Xi sont ouvertes (et continues). Comme les projections des fibrés et des revêtements s'identifient localement à des projections canoniques de produits, ce sont également des applications ouvertes. En revanche, les projections canoniques ne sont généralement pas des applications fermées : si p1 :R→ R est la projection sur la première composante (p1(""x,y"")=""x"") et si A = {(x,1/x) : x≠0}, A est un fermé de R, mais p1(A) = R − {0} n'est pas fermé. Cependant, si Y est compact, la projection X × Y → X est fermée ; ce résultat est essentiellement équivalent au lemme du tube.
À chaque point du cercle unité, on peut associer l'angle entre l'axe des x positifs et le vecteur joignant l'origine à ce point. Cette application du cercle unité vers l'intervalle semi-ouvert [0,2π[ est bijective, ouverte et fermée, mais non continue, et montre que l'image d'un compact par une application ouverte ou fermée n'est pas nécessairement compacte. La même application considérée comme allant du cercle unité vers R n'est ni ouverte, ni fermée : préciser l'ensemble d'arrivée de l'application est essentiel.
L'application f : R → R définie par f(x) = x est continue et fermée, mais non ouverte.
Une application f : X → Y est ouverte si et seulement si pour tout x de X et pour tout voisinage U de x, il existe un voisinage V de f(x) tel que V ⊂f(U).
Pour montrer qu'une application est ouverte, il suffit de le vérifier sur une base de l'espace de départ X. Autrement dit, f : X → Y est ouverte si et seulement si l'image par f de chaque ouvert d'une base de X est ouverte.
Les applications ouvertes et fermées peuvent aussi être caractérisées en terme d'intérieurs et d'adhérences. Si f:X → Y est une application,
Le composé de deux application ouvertes est ouvert, le composé de deux application fermées est fermé.
Le produit de deux applications ouvertes est ouvert, mais, en général, le produit de deux applications fermées n'est pas fermé.
Une bijection est ouverte si et seulement si elle est fermée. La bijection réciproque d'une bijection continue est ouverte et fermée, et réciproquement.
Si f : X → Y est une application continue qui est soit ouverte, soit fermée, alors
Dans les deux premiers cas, être ouvert ou fermé n'est qu'une condition suffisante ; c'est également une condition nécessaire dans le dernier cas.
Il est souvent utile d'avoir des conditions générales garantissant qu'une application est ouverte ou fermée. Les résultats suivants sont parmi les plus fréquemment employés.
Le lemme de l'application fermée dit que toute application continue d'un espace compact X vers un espace séparé Y est fermée et propre (c'est-à-dire que les pré-images des compacts de Y sont compactes). On en déduit que si une application continue entre espaces localement compacts est propre, elle est aussi fermée.
En analyse fonctionnelle, le théorème de l'application ouverte (connu également sous le nom de théorème de Banach-Schauder) dit que tout opérateur linéaire continu entre espaces de Banach est une application ouverte.
En analyse complexe, le théorème de l'application ouverte (homonyme du précédent) dit que toute fonction holomorphe non constante définie sur un sous-ensemble ouvert connexe du plan complexe est une application ouverte.
En géométrie différentielle, une partie du théorème d'inversion locale dit qu'une fonction continument différentiable entre espaces euclidiens, dont la matrice jacobienne est inversible en un point donné, est une application ouverte dans un voisinage de ce point. Plus généralement, si une application F : U → R d'un ouvert U ⊂ R to R est telle que la différentielle dF(x) est surjective en tout point x ∈ U, alors F est une application ouverte.
Enfin, le théorème de l'invariance du domaine (dû à Brouwer, et utilisant son célèbre théorème du point fixe) dit qu'une application continue et localement injective entre deux variétés topologiques de même dimension finie n est ouverte.