Un choc sous-compressif (undercompressive shock) est une onde de choc qui n'obéit pas aux inégalités de Peter Lax sur la vitesse caractéristique des ondes. Ils ont quelque chose d'incroyable et peuvent être observés lors d'expériences simples.
Pour les chocs compressifs, la vitesse caractéristique à l’arrière du choc est plus grande que la vitesse du choc, qui est elle-même plus grande que la vitesse caractéristique à l’avant du choc. Ce sont les conditions de Lax.
Les ondes de choc sous-compressives sont des chocs qui n’obéissent pas aux conditions de Lax, par définition. On pourrait donc dire aussi, non-compressives, mais ce n’est pas d’usage.
Elles sont incroyables parce que la théorie (rappelée dans onde de choc) sur la formation des ondes de choc semblait d’une portée générale et parce qu’on ne comprend pas facilement comment elles peuvent se former et se conserver. Pourquoi se conservent-elles ? Pourquoi les petites perturbations ne se détachent pas du choc ? Des expériences simples montrent qu’on peut les fabriquer facilement et qu’elles se conservent.
Les premiers chocs sous-compressifs ont été découverts par des mathématiciens. Les découvertes expérimentales sont venues ensuite, principalement à la suite de la rencontre entre une mathématicienne, Andrea Bertozzi, et une physicienne, Anne-Marie Cazabat. Elles se sont rendues compte qu’elles travaillaient, chacune à sa façon, sur la même équation d’onde.
L’onde étudiée est la surface d’un liquide qui s’étale. On peut forcer l’étalement par gravitation et par effet Marangoni thermique. La gravitation force l’écoulement du liquide vers la bas. L’effet Marangoni thermique force l’écoulement du côté où le liquide est le plus froid. Si on met une goutte sur une plaque dont la température n’est pas uniforme (chauffée d’un côté et refroidie de l’autre) elle s’étale du côté le plus froid, comme si elle voulait y aller.
Lorsqu’on se place dans une géométrie unidimensionnelle (une vague théoriquement infinie et parfaitement rectiligne dans une direction), les conditions du cas étudié par Poisson sont presque remplies. L’équation d’onde est donc très simple à la base. Mais il y a des différences, et surtout un terme associé à l’effet d’aplanissement provoqué par la tension de surface. C’est ce terme qui ouvre la possibilité des chocs sous-compressifs, parce qu'il bloque la formation des petites perturbations.
En présence de la gravitation seule ou de l’effet Marangoni thermique seul, ou lorsque les deux effets vont dans le même sens, les chocs sont toujours compressifs.
On peut faire jouer l’effet Marangoni thermique en sens inverse de la gravitation : il suffit de plonger une plaque dans un bain chaud et de la refroidir à l’autre extrémité. Dans ce cas le liquide monte sur la plaque (il faut prendre quelques précautions pour que ça marche). Les chocs que l’on peut alors obtenir sont en général compressifs mais pas tous. Il y a plusieurs exceptions qui ont été découvertes par Anne-Marie Cazabat et deux de ses étudiants, Xavier Fanton et moi-même (TD).
Pour fabriquer un choc, il suffit de laisser monter un premier film de liquide, puis de varier l’inclinaison de la plaque. Un second film de liquide monte à la suite du premier. Dans certains cas, la marche de liquide ainsi obtenue devient de plus en plus douce, le second film reste à la traîne et s’éloigne de plus en plus du premier. Ce n’est pas alors une onde de choc. Dans d’autres cas, la marche de liquide monte sans se déformer. Souvent elle est instable, elle se déforme en doigts de liquide, mais comme l’instabilité se développe lentement, on a le temps de voir une propagation sans déformation. Les mesures par interférométrie Laser sont très précises. Les images des doigts de liquide sont magnifiques (pas celles des chocs, ce sont seulement des lignes parallèles). La marche de liquide n’est jamais très abrupte, mais comme elle ne change pas au cours du temps, on peut la voir comme une transition discontinue par un effet de zoom.
N’importe quelle transition douce peut avoir l’air abrupte si on change d’échelle. C’est pourquoi ces marches de liquide dont la pente ne dépasse pas quelques pourcents peuvent être considérées comme des ondes de choc.
Les preuves sont de plusieurs types :
Il s’agit de prouver que les solutions trouvées sont bien des solutions des équations étudiées et que ce qu’on dit à leur sujet est vrai, en tant qu’êtres mathématiques. Se reporter aux articles des théoriciens.
On connaît le résultat d’une expérience avant de la faire. On peut alors vérifier si les observations expérimentales sont en accord avec les prédictions mathématiques. On peut vérifier tout ce qui est mesurable. Se reporter à la thèse de Xavier Fanton et à mon compte-rendu de stage. Aucun désaccord entre la théorie et l’expérience n’a pu être établi (compte-tenu des incertitudes de la mesure et de quelques termes négligés dans l’équation étudiée.)
Certaines expériences ont montré l’existence de chocs sous-compressifs nouveaux, inconnus des théoriciens. Leur existence, comme solutions de l’équation, a été confirmée ensuite par les calculs. Un expérimentateur peut faire des découvertes mathématiques. Cela se produit souvent, mais ce n’est pas souvent remarqué. Se reporter à mon compte-rendu de stage.
On peut voir directement qu’un choc est compressif ou sous-compressif en faisant une petite perturbation à côté de lui. S’il y a un côté où la perturbation se sépare du choc, c’est qu’il est sous-compressif. Dans le cas compressif, la perturbation est avalée par le choc. Se reporter à mon compte-rendu de stage.
J. David Logan. An introduction to nonlinear partial differential equations Wiley-Interscience 1994
G.B. Whitham. Linear and non-linear waves Wiley-Interscience 1974
Peter D. Lax. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves Society for industrial and applied mathematics Philadelphia, Pennsylvania 1973, Hyperbolic systems of conservation laws II Comm. Pure Appl. Math., 10 :537-566, 1957
M. Shearer, D.G. Schaeffer, D. Marchesin, P. Paes-Leme. Solution of the Riemann problem for a prototype 2 X 2 system of non-strictly hyperbolic conservation laws Arch. Rat. Mech. Anal. 97 :299-320, 1987
A.L. Bertozzi, A. Münch, M. Shearer. Undercompressive shocks in thin film flows 1998 où l’on trouve davantage de références.
A. Münch. Shock transition in Marangoni and gravitation driven thin film flow 1999
A. Münch, A. L. Bertozzi. Rarefaction-undercompressive fronts in driven films 1998
V. Ludviksson, E. N. Lightfoot. The dynamics of thin liquid films in the presence of surface_tension gradients AIChE Journal 17 :5, 1166-1173, 1971
Herbert E. Huppert. Flow and instability of a viscous current down a slope Nature Vol. 300, 427-429, 1982
A.M. Cazabat, F. Heslot, S.M. Troian, P. Carles. Fingering instability of thin spreading films driven by temperature gradients Nature Vol. 346, 824-826 1990
X. Fanton. Etalement et instabilités de films de mouillage en présence de gradients de tension superficielle Thèse, LPMC, Collège de France 1998
A.L. Bertozzi, A. Münch, X. Fanton, A.M. Cazabat, Contact Line Stability and "Undercompressive Shocks" in Driven Thin Film Flow, Physical Review Letters, Volume 81, Number 23, 7 December 1998, pp. 5169-5172
L'article ci-dessus fait l'objet d'une controverse entre Mme Cazabat et moi-même (T. Dugnolle). Les barres d'erreur de la figure 4 y sont calculées à partir d'une précision de 1/1000 sur la viscosité du liquide alors que celle-ci varie du simple au double à l'intérieur de l'écoulement. Cela fait perdre, selon moi, toute signification à cette figure. Cet article ne prouve donc pas ce qu'il prétend prouver. Mme Cazabat n'a toujours pas répondu, malgré mon insistance, à cette objection.
T. Dugnolle, Des chocs non-classiques lors de l’étalement forcé d’un liquide, Compte rendu de stage de DEA (Paris 6, Physique des Liquides), LPMC, Collège de France 1999