Code de Lehmer

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Introduction

Le code de Lehmer, attribué à Derrick Lehmer, mais connu depuis 1888 au moins, associe à une permutation σ des éléments de $\scriptstyle\ [\![1,n]\!]\$ l'application ƒ=L(σ) définie sur $\scriptstyle\ [\![1,n]\!]\$ par

f (i) = Card {j ∣ 1 \leq j \leq i et σ (j) \leq σ (i)} = L (σ, i) .

Les applications ƒ, encodant des permutations de $\scriptstyle\ \mathfrak{S}_n,\$ peuvent être identifiées aux suites $\scriptstyle\ \left(f(i)\right)_{1\le i\le n}.\$ Comme

1 \leq f (i) \leq i,

le code de Lehmer établit une correspondance L entre l'ensemble $\scriptstyle\ \mathfrak{S}_n\$ et le produit cartésien

[[1, 1]] \times [[1, 2]] \times [[1, 3]] \times \dots \times [[1, n]] .

Décodage

Propriété — Le code de Lehmer L est une bijection de $\scriptstyle\ \mathfrak{S}_n\$ dans $[[1, 1]] \times [[1, 2]] \times [[1, 3]] \times \dots \times [[1, n]] .$

Un algorithme

Un algorithme simple permet de reconstituer σ à partir de ƒ=L(σ). Par exemple, le code ƒ=113252 correspond à une permutation σ telle que σ(6)=2. En effet on voit que, par définition, L(σ,n)=σ(n). C'est le premier pas de l'algorithme :

σ=x6xxxx ;

l'avant-dernier terme de la suite ƒ, égal à L(σ,5)=5, signifie que parmi les 5 images possibles pour 5, (1,3,4,5,6), il faut choisir la 5ème, σ(5)=6 :

σ=x6xxx5 ;

le terme 2=L(σ,4), en 4ème position de la suite ƒ, signifie que parmi les 4 images possibles pour 4, (1,3,4,5), il faut choisir la 2ème, σ(4)=3 :

σ=x64xx5 ;

le terme 3=L(σ,3), en 3ème position de la suite ƒ, signifie que parmi les 3 images possibles pour 3, (1,4,5), il faut choisir σ(3)=5 :

σ=x64x35 ;

on termine avec σ(2)=1 :

σ=264x35 ;

puis σ(1)=4 :

σ=264135 ;

on a donc σ=(4,1,5,3,6,2). Il est clair d'après le déroulement de l'algorithme qu'à chaque pas il y a un choix pour σ(k), et il n'y en a qu'un. Donc chaque suite ƒ de $\scriptstyle\ [\![1,1]\!]\times[\![1,2]\!]\times[\![1,3]\!]\times\dots\times[\![1,n]\!]\$ possède un antécédent et un seul dans $S_{n} .$

Un algorithme alternatif

Une autre possibilité est de construire σ directement à partir de ƒ=113252 de la manière suivante :

insérer 1 à la 1ère et seule place possible dans la suite x, ce qui donne 1,
insérer 2 à la 1ère des places possibles dans la suite x1x, ce qui donne 21,
insérer 3 à la 3ème des places possibles dans la suite x2x1x, ce qui donne 213,
insérer 4 à la 2ème des places possibles dans la suite x2x1x3x, ce qui donne 2413,
insérer 5 à la 5ème des places possibles dans la suite x2x4x1x3x, ce qui donne 24135,
insérer 6 à la 2ème des places possibles dans la suite x2x4x1x3x5x, ce qui donne 264135.

On peut maintenant déduire σ de σ. Cette construction est justifiée par l'observation suivante : par définition, ƒ(i) est le rang de σ(i) quand on range la suite (σ(1), σ(2), σ(3), ... , σ(i-1), σ(i)) dans l'ordre croissant.

Applications en combinatoire et en probabilités

Indépendance des rangs relatifs

Ces applications découlent d'une propriété immédiate du code de Lehmer L(σ) vu comme suite de nombres entiers.

Propriété — Sous la loi uniforme sur $\scriptstyle\ \mathfrak{S}_n,\$ L est une suite de variables indépendantes et uniformes ; L(i) suit la loi uniforme sur $\scriptstyle\ [\![1,i]\!]\$ .

En d'autres termes, si on tire une permutation ω au hasard dans $\scriptstyle\ \mathfrak{S}_n,\$ avec équiprobabilité (chaque permutation a une probabilité 1/n! d'être choisie), alors son code de Lehmer ƒ=L(ω)=(L(1,ω), L(2,ω), L(3,ω), ... , L(n,ω)) est une une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes. L'indépendance des composantes de L résulte d'un principe général concernant les variables aléatoires uniformes sur un produit cartésien.

Nombre de records

Définition — Dans une suite u=(u_k)_1≤k≤n, il y a record vers le bas (resp. vers le haut) au rang k si u_k est strictement plus petit (resp. strictement plus grand) que chaque terme u_i tel que i<k.

Soit B(k) (resp. H(k)) l'évènement "il y a record vers le bas (resp. vers le haut) au rang k" , i.e. B(k) est l'ensemble des permutations de $\scriptstyle\ \mathfrak{S}_n\$ qui présentent un record vers le bas au rang k. On a clairement

{ω \in B (k)} \Leftrightarrow {L (k, ω) = 1} et {ω \in H (k)} \Leftrightarrow {L (k, ω) = k} .

Ainsi le nombre N_b(ω) (esp. N_h(ω)) de records vers le bas (resp. vers le haut) de la permutation ω s'écrit comme une somme de variables de Bernoulli indépendantes de paramètres respectifs 1/k :

N_{b} (ω) = 1 \leq k \leq n \sum 1 1_{B (k)} et N_{b} (ω) = 1 \leq k \leq n \sum 1 1_{H (k)} .

En effet, comme L(k) suit la loi uniforme sur $\scriptstyle\ [\![1,k]\!],\$

P (B (k)) = P (L (k) = 1) = P (H (k)) = P (L (k) = k) = \frac{1}{k} .

La fonction génératrice de la variable de Bernoulli $1 1_{B (k)}$ est

G_{k} (s) = \frac{k - 1 + s}{k},

donc la fonction génératrice de N_b est

G (s) = k = 1 \prod n G_{k} (s) = \frac{( s ) _{↑ n}}{n !},

ce qui permet de retrouver la forme produit de la série génératrice des nombres de Stirling de première espèce (non signés).

Nombre de cycles

La correspondance fondamentale de Foata entraine que la loi de probabilité de N_b est aussi la loi du nombre de cycles de la décomposition d'une permutation tirée au hasard.

Problème des secrétaires

Il s'agit d'un problème d'arrêt optimal, classique en théorie de la décision, statistiques et probabilités appliquées, où une permutation aléatoire est dévoilée progressivement à travers les premiers termes de son code de Lehmer, et où il faut s'arrêter exactement à la valeur k telle que σ(k)=n, alors que la seule information disponible (les k premières valeurs du code de Lehmer) ne permet pas de calculer σ(k). En termes moins mathématiques, une série de n candidats sont présentés, l'un après l'autre, à un recruteur, qui doit recruter le meilleur, mais doit prendre sa décision ("je passe" ou "je recrute") au moment où le candidat lui est présenté, sans attendre d'avoir vu le candidat suivant (a fortiori, sans avoir vu tous les candidats). Le recruteur connait donc le rang du candidat présenté en k-ème position parmi les k candidats qu'il a déjà vu, donc, au moment de prendre sa k-ème décision ("je passe" ou "je recrute"), le recruteur connait les k premiers termes du code de Lehmer, alors qu'il aurait besoin de connaître la permutation : le recruteur aurait besoin de connaître tous les termes du code de Lehmer pour prendre une décision bien informée. Pour déterminer la stratégie optimale (optimisant la probabilité de gagner), les propriétés statistiques du code de Lehmer sont cruciales. Johannes Kepler aurait exposé clairement le problème des secrétaires à un ami au moment où il a entrepris de choisir sa seconde femme parmi 11 épouses potentielles (choix qu'il voulait faire très méticuleusement, son premier mariage, malheureux, ayant été arrangé sans qu'il ait été consulté).