Condensation de Bose-Einstein généralisée

La condensation de Bose-Einstein généralisée est un concept formulé pour la première fois en 1982 par M. van den Berg et J.T. Lewis qui généralise le critère de condensation de Bose-Einstein formulé par Einstein en 1925.

Il apparaît que dans certains systèmes bosoniques (pièges anisotropes, conditions aux limites attractives ou répulsives, interactions) le condensat ne se forme pas uniquement sur l'état fondamental mais est réparti sur une bande d'énergie dont la structure peut-être de différente forme. Si en limite thermodynamique la bande contient un nombre fini de niveau d'énergie macroscopiquement occupés on dit que le condensat généralisé est de type I, si la bande contient un nombre infini de niveaux d'énergie macroscopiquement occupés on dit que le condensat généralisé est de type II et enfin si la bande contient un certain nombre de niveau d'énergie sur lesquels un nombre non macroscopique de particules (par exemple N) bien que la bande contienne un nombre macroscopique de particule on dit que le condensat généralisé est de type III.

Ce concept est relié à la théorie de la condensation fragmentée développée pour rendre compte des expériences récentes notamment sur l'observation des condensats dans des milieux très anisotropes (à basse dimensions) pour les atomes froids.

Hendrik Casimir le premier constata en 1968 que pour un gaz parfait de bosons dans une boîte parallélépipédique particulière, on peut avoir occupation macroscopique d'un nombre infini d'état et que la somme des densité de particules dans ces états forme la totalité du condensat. A partir de ces travaux, M.van den Berg et J.T.Lewis vont essayer de généraliser cet exemple à tous les autres cas d'anisotropie possible pour le gaz parfait de bosons dans la boîte. En 1986 une publication de synthèse reprend tous les cas possibles et formule un critère de condensation macroscopique sur l'état fondamental. Il montre alors qu'il existe des conditions sur l'anisotropie de la boîte pour la réaliser et qu'il peut exister une deuxième densité critique ρ_m, au-delà de la densité critique de condensation ρ_c, pour laquelle on passe d'un condensat de type III à un condensat de type I, c'est-à-dire qu'avant ρ_m il ne peut y avoir condensation macroscopique sur l'état fondamental alors qu'au-delà de ρ_m on peut l'avoir. Il se pourrait que ce phénomène soir relié à une transition d'un quasicondensat à un condensat.

Depuis de nouvelles recherches en physique mathématique ont été menées pour étudier l'influence des interactions entre particules sur le condensat généralisé. On montre que pour certains système de particules en interaction le condensat généralisé est de type III, on dit aussi condensation "non extensive" en raison de l'occupation non macroscopique des états formant le condensat.

Bien que le condensat généralisé ne soit pas, à l'heure actuel, une notion privilégiée pour décrire le phénomène de condensation (c'est plutôt un concept de physique mathématique), il existe des notions analogues utilisées dans le domaine de la physique théorique qui y font penser tels que le condensat fragmenté et les quasicondensats ou encore "smeared condensate" au sens de Girardeau. De plus on trouve dans la littérature physique de plus en plus de références sur le condensat généralisé (ou sous un autre nom), sa signature expérimentale étant un changement de la longueur de cohérence du condensat.

Critère de condensation usuel à la Einstein et London

Nous donnons ici la formulation mathématique du concept de condensation de Bose-Einstein original tel qu'il fut formulé par Einstein en premier lieu. On se place dans l'ensemble grand-canonique (volume constant V, température T, potentiel chimique μ), dans le cas du gaz parfait de boson dans une boîte cubique $\Lambda =L^3\in R^3,V=L^3$, on a condensation de Bose-Einstein si on a occupation macroscopique de l'état fondamental en limite de volume infini (densité de particule sans vitesse strictement positive):

• $\frac{N_0}{V}\to n_0>0$

Il explique cela par le fait que la partie excité du gaz a une densité:

• $\frac{N}{V}\to n={\sum }_{s=1}^{\infty }\frac{e^{\beta \mu }}{{\lambda }_{\beta }^3{j}^{3/2}}$

qui sature à une valeur constante (pour le potentiel chimique nul):

• $n_c={\sum }_{s=1}^{\infty }\frac{1}{{\lambda }_{\beta }^3{j}^{3/2}}$

où β = 1 / k_BT (avec k_B la constante de Boltzmann) et ${\lambda }_{\beta }=\hslash \sqrt{2\pi m/\beta }$ la longueur d'onde thermique de de Broglie.

Cette formulation a été reprise par Fritz London en 1938 de manière plus explicite et plus précise de sorte à mettre terme à la controverse présentée par Ulhenbech dans sa thèse de 1927 critiquant la validité mathématique de l'hypothèse d'Einstein. London dit que pour une densité fixée n = N / V, le potentiel chimique μ devient une solution de l'équation:

• $n=\frac{N}{V}(\beta ,\mu )$

ainsi pour chaque valeur du volume V, μ prend une certaine valeur qui dépend de β, de la densité n et du volume V. En choisissant μ = − A / βV + O(1 / V) comme asymptotique de la solution on obtient que la densité de particule dans l'état fondamentale s'écrit:

• $\frac{N_0}{V}=\frac{1}{V}\frac{1}{e^{-\beta \mu }-1}=\frac{1}{e^{A/V+O(1/V)}-1}\to \frac{1}{A}>0$

A est alors solution de l'équation:

• $\frac{1}{A}=n-n_c$

Condensation généralisée à la van den Berg-Lewis-Pulé

Classification de la condensation généralisée

Critère de condensation pour l'état fondamental

Définition d'un condensat fragmenté

Signature expérimentale

Intérêt physique