Ensemble grand-canonique

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Introduction

En physique statistique, l’ensemble grand-canonique est un ensemble statistique, dans lequel chaque système est en équilibre avec un réservoir externe d'énergie et de particules. Cela signifie que le système peut échanger de l’énergie et des particules avec le réservoir, autrement dit, l’énergie et le nombre de particules sont alors amenés à fluctuer d’un système à un autre de l’ensemble.

Cet ensemble est utilisé lorsque le nombre de particules ne peut pas être fixé, plus particulièrement pour les systèmes composés de bosons et de fermions.

Introduction

Dans cet ensemble, on considère que le système est composé de particules identiques, et on introduit le potentiel chimique, pour prendre en considération la variation du nombre de particules. Le réservoir doit être considéré grand devant le système, afin que les échange d’énergie et de particules n’influent pas sur la température du réservoir, et donc sur la température du système. Le réservoir doit alors se comporter comme un thermostat et imposer sa température au système.

On considère l’hamiltonien du système défini comme :

\hat{H} = i = 1 \sum N \hat{h} (i)

où $\hat{h} (i) ∣ i ⟩ = E_{i} ∣ i ⟩$ est l’équation de Schrödinger pour chaque particule i.

Pour chaque ensemble miscrocopique $∣ n ⟩$ , on a alors l’énergie et le nombre de particules associés :

E (∣ n ⟩) = i \sum E_{i} n_{i}

N (∣ n ⟩) = i \sum n_{i}

Suivant que le système considéré est composé de bosons, ou de fermions, n_i est soumis aux conditions suivantes :

n_{i} = {0, ..., \infty 0, 1 pour les bosons pour les fermions

Observable miscrocopique

Fonction de partition

La fonction de partition est définie comme étant :

Ξ = {∣ n_{i} ⟩} \sum e^{- β [t y p e = e mb e dd e d - d e f ini t i o n] [E (∣ n ⟩) - μ N (∣ n ⟩)]} = {∣ n_{i} ⟩} \sum e^{- β \sum_{i} (E_{i} - μ) n_{i}}

où ${∣ n_{i} ⟩}$ représente l’ensemble statistique de tous les ensemble miscrocopique $∣ n ⟩$ .

On peut écrire Ξ comme :

Ξ = (n_{1} \sum e^{- β (E_{1} - μ) n_{1}}) (n_{2} \sum e^{- β (E_{2} - μ) n_{2}}) ... = i \prod Ξ_{i}

avec $Ξ_{i} = (\sum_{n_{i}} e^{- β (E_{i} - μ) n_{i}})$ , qui représente la fonction de partition d'un seul mode.

Probabilité d'un micro-état

La probabilité pour que le système soit dans un micro-état i est défini par :

p_{i} = \frac{e ^{- β (E_{i} - μ) n_{i}}}{Ξ}

où $\sum_{i} p_{i} = 1$