En mathématiques, la conjecture d'Euler, est une conjecture refutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1769, et qui s'énonce de la façon suivante :
Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n-1 puissances n n'est pas une puissance n.
En d'autres termes, et de manière plus formelle :
Cette conjecture fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 (lien) grâce au contre-exemple suivant :
27 + 84 + 110 + 133 = 144.
En 1988, Noam Elkies trouva une méthode pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :
2682440 + 15365639 + 18796760 = 20615673.
Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :
95800 + 217519 + 414560 = 422481.
Aucun contre-exemple pour n > 5 n'est actuellement connu.