Constante de Catalan

En mathématiques, la constante de Catalan, nommée d'après le mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par :

$K=\beta (2)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}\simeq$ 0,91596559417721901505...,

où β est la fonction beta de Dirichlet.

On ne sait pas si la constante K est rationnelle ou irrationnelle et on s'attend à ce qu'elle soit transcendante.

Elle est également égale à :

• $\frac{1}{2}{\int }_0^{1}Fdk$ avec $F={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}$
• ${\int }_0^1\frac{\arctan (u)}{u}du$
• $-{\int }_0^1\frac{\ln (u)}{1+u^2}du$
• $-{\int }_0^{\pi /4}\ln (\tan (u))du$

• Les nombres remarquables, F. Le Lionnais, Hermann, 1983 puis 1999 (ISBN 2-7056-1407-9)