Résistivité

La résistivité d'un matériau, généralement symbolisée par la lettre grecque rho (ρ), représente sa capacité à s'opposer à la circulation du courant électrique. Elle correspond à la résistance d'un tronçon de matériau de 1 m de longueur et de 1 m de section ; elle est exprimée en ohm·mètre (Ω·m). On utilise aussi :

• le Ω·mm/m = 10 Ω·m ;
• le μΩ·cm = 10 Ω·m.

La résistivité est la grandeur inverse de la conductivité (symbole : σ).

La résistance R (en ohms) d'une pièce rectiligne d'un matériau de résistivité ρ, de longueur L (en mètres) et de section droite d'aire S (en mètres carrés) vaut donc : $R=\rho \cdot \frac{L}{S}$.
La résistance est la grandeur inverse de la conductance électrique (symbole : G).

La résistivité des matériaux dépend de la température :

• Pour les métaux, à la température ambiante, elle croit linéairement avec la température. Cet effet est utilisé pour la mesure de température (sonde Pt 100)
• Pour les semi-conducteurs, elle décroît fortement avec la température, la résistivité peut aussi dépendre de la quantité de rayonnement (lumière visible, infrarouge, etc.), absorbé par le composant.

Matériaux

Résistivité électrique des métaux purs pour des températures entre 273 et 300K (10 Ω·m) :

L'argent métallique est le corps pur simple qui est le meilleur conducteur d'électricité à température ambiante.

Isolants

Dans le cas d'un cristal parfait, on peut calculer la résistivité en fonction des paramètres fondamentaux.

Cristaux covalents

Les cristaux covalents sont des isolants, la bande interdite est large. Avec l'élévation de température, des électrons peuvent être suffisamment excités pour franchir le gap. La conductivité suit donc une loi en

T·exp(-E_g/kT)

où

• T est la température absolue ;
• E_g est la largeur de la bande interdite ;
• k est la constante de Boltzmann.

Cristaux ioniques

Dans les cristaux ioniques, la conduction se fait par migration de défauts. Le nombre et la mobilité des défauts suivent une loi d'Arrhénius, la conductivité suit donc une loi similaire, en

exp(-Q/RT)

où

• Q est l'énergie de formation ou de migration des défauts ;
• R est la constante des gaz parfaits ;
• T est la température absolue.

Cristaux métalliques

Dans le cas des cristaux métalliques, la résistivité augmente avec la température ; la conductivité augmente linéairement avec T. Cela est dû à l'interaction entre les électrons et les phonons.

Le premier modèle utilisé considère que les électrons se comportent comme un gaz, le libre parcours moyen des électrons étant déterminé par les chocs avec les ions (atomes du réseau sans leurs électrons libres, réseau appelé « gellium »). On trouve une résistivité valant

avec

• m : masse d'un électron ;
• N : nombre d'électrons par unité de volume, de l'ordre de 10 m ;
• e : charge élémentaire ;
• τ : temps de relaxation, c'est-à-dire durée moyenne séparant deux collisions.

Mais ce modèle ne prend pas en compte l'effet de la température ni des impuretés.

Selon la relation de Matthiessen, la conductivité comprend trois composantes :

ρ = ρ_T + ρ_i + ρ_D

avec

• ρ_T : contribution de l'agitation thermique ;
• ρ_i : contribution des impuretés, de l'ordre du μΩ⋅cm/% d'impureté ;
• ρ_D : contribution des défauts atomiques.

Le modèle de Drude prend en compte l'effet Joule, c'est-à-dire l'énergie cinétique que les électrons cèdent au réseau à chaque collision. Comme les autres modèles, c'est un modèle non quantique, qui permet également de prévoir la conductivité thermique, mais décrit mal ce qui se passe pour les températures très basses.

La résistivité d'un métal à une température proche de l'ambiante est en général donnée par :

ρ = ρ₀(1 + αθ)

avec

• ρ₀ : résistivité à 0 °C ;
• α : coefficient de température (K) ;
• θ : température en degrés Celsius.

Résistivité des sols

On utilise un telluromètre et la méthode de Wenner : (on écrit tellurohmmètre (qui mesure la résistance de ce qui est tellurique)) On plante 4 piquets alignés et équidistants notés 1, 2, 3 et 4. Le courant de mesure est injecté entre les piquets 1 et 4 et la résistance est mesurée entre 2 et 3. Si la distance entre 2 piquets est égale à D, la résistivité du sol se calcule avec la formule :

ρ = 2π⋅D⋅R₂₃.

Résistivité des couches minces

La méthode 4 pointes ou méthode de Van der Pauw est utilisable pour mesurer la résistivité d’une couche mince. Il faut placer les 4 pointes près des bords de la couche à caractériser.

Soit un rectangle dont les côtés sont numérotés de 1 à 4 en partant du bord supérieur, et en comptant dans le sens des aiguilles d'une montre. On injecte le courant entre deux points du bord 1 et on mesure la tension entre les deux points du bord opposé (bord 3). Le rectangle pouvant ne pas être strictement un carré nous effectuons une deuxième mesure en injectant cette fois ci le courant entre les deux points du bord 4, et comme précédemment nous mesurons ensuite la tension entre les deux points du bord opposé (bord 2). Il suffit ensuite de calculer à l’aide de la loi d'Ohm, le rapport V/I pour chaque configuration de mesures.

Nous obtenons ainsi R_AB,CD et R_AC,BD.

La résistivité ρ est la solution de l'équation dite équation de Van der Pauw :

$\exp \left(-\frac{\pi \cdot e}{\rho }\cdot {\mathrm{R}}_{\mathrm{AB},\mathrm{CD}}\right)+\exp \left(-\frac{\pi \cdot e}{\rho }\cdot {\mathrm{R}}_{\mathrm{AD},\mathrm{BC}}\right)=1$.

où e est l'épaisseur de la couche.

Une méthode de résolution consiste à calculer la résistance équivalente par la formule suivante :

ƒ étant le facteur de forme obtenu d’après la relation :

Nous calculons ensuite la résistivité avec :

ρ = R_eq⋅e.