Corps parfait

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre dans le contexte de la théorie de Galois, un corps parfait est un corps dont toutes les extensions algébriques sont séparables.

Les corps parfaits sont utiles pour la théorie de Galois, car les théorèmes fondateurs, comme le théorème de l'élément primitif ou le théorème fondamental de la théorie de Galois utilisent dans les hypothèses le fait que l'extension considérée est séparable.

Les corps parfaits sont relativement fréquents, en effet, tout corps de caractéristique nulle comme ceux des nombres rationnels, des nombres réels ou des nombres complexes sont parfaits. C'est aussi le cas des corps finis.

Soit K un corps et L une extension algébrique de K.

• Un corps K est dit parfait si et seulement si toutes ses extensions algébriques sont séparables.

Dire qu'une extension est séparable signifie que tout polynôme minimal d'un élément de L à coefficient dans K n'admet aucune racine multiple dans sa clôture algébrique.

Tout corps fini est parfait (cf le paragraphe propriétés).

Tout corps de caractéristique nulle est parfait. Un corps de caractéristique nulle est un corps où la somme réitérée de l'unité n'est jamais égale à zéro. Ainsi les corps des nombres rationnels et ses extensions ainsi que le corps des nombres réels est parfait (cf le paragraphe propriétés).

Cependant, tous les corps ne sont pas parfaits. Considérons ${\mathbb{F}}_p(X)$ le corps des fractions rationnelles sur le corps fini de cardinal p, où p est premier, et Ω sa clôture algébrique. Si K est choisi comme étant égal à l'ensemble des fractions de ${\mathbb{F}}_p(X^p)$, alors K contient un polynôme non séparable. Considérons le polynôme P[X] de K[Y] égal à $Y^p-X^p$. Ce polynôme possède une unique racine X qui est donc un élément algébrique de degré p. De plus ce polynôme est irréductible. On en déduit que ${\mathbb{F}}_p(X)$ est le corps de décomposition du polynôme P[X]. Comme X est sa seule racine, P[X] n'est pas séparable.

Critère de séparabilité

Article détaillé : Extension séparable

L'analyse des extensions séparables permet d'établir critères de séparabilité d'un polynôme.

• Un polynôme est séparable si et seulement si lui et sa dérivée formelle sont premiers entre eux.

Dans le cas d'un polynôme irréductible, car particulièrement intéressant dans le cadre de la théorie de Galois, cette proposition implique le corollaire suivant :

• Un polynôme irreductible est séparable si et seulement si sa dérivée formelle n'est pas nulle.

• Supposons K de caractéristique p et P[X] un polynôme irreductible. Il est séparable si et seulement s'il n'existe pas de polynôme Q[X] dans K[X] tel que l'on ait l'égalité P[X]=Q[X].

Ces propositions sont démontrées dans l'article détaillé.

• Soit L une extension de K et M une extension de L. Alors si M est séparable sur K si et seuelement si M est séparable sur L et L est séparable sur K.

Caractérisation des corps parfaits

Théorème —  Un corps K est parfait si et seulement s'il est de caractéristique nulle, ou, lorsqu'il est de caractéristique p > 0, l'homomorphisme de Frobenius $x\mapsto x^p$ est surjectif (autrement dit tout élément de K possède une racine p-ième dans K). En particulier tout corps fini est parfait.