Extension séparable

Une extension algébrique L d'un corps K est dite séparable si et seulement si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples.

Ce critère est une hypothèse nécessaire pour établir un théorème important de la théorie de Galois: Le théorème de l'élément primitif. La séparabilité est aussi utilisée dans la définition d'une extension de Galois.

Les corps dont toutes les extensions algébriques sont séparables sont nombreux. On y trouve par exemple les corps de caractéristique nulle, ce qui recouvre les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes.

Le groupe des automorphismes de corps est un puissant outil d'analyse d'une extension algébrique. Il est particulièrement efficace si le nombre de racines du polynôme minimal est toujours égal à son degré. Cette propriété est toujours vérifiée si le corps initial est de caractéristique nulle ou si le corps est fini. On parle alors du Groupe de Galois. En revanche, cette propriété n'est pas vraie sur tous les corps, la théorie de Galois qui est l'étude des extensions algébriques demande pour la démonstration de l'essentiel des théorèmes la séparabilité.

La première conséquence de la séparabilité est le théorème de l'élément primitif. Si une extension finie L sur un corps K est séparable alors il existe un élément l de L de polynôme minimal P(X) sur K tel que L soit le plus petit corps de rupture de P(X). Cela signifie que L est égal à K(l) ou encore que L est une extension simple.

Dans le cas ou l'extension est finie et séparable, alors il existe autant d'automorphismes que la dimension de l'extension. Si ses automorphismes laissent stable l'extension, on parle alors d'Extension de Galois. C'est le contexte initial et le la théorie de Galois. Il existe alors une bijection entre les sous-corps de l'extension et les sous-groupes du groupe de Galois. L'étude de ces sous-groupes permet par exemple de déterminer une condition nécessaire et suffisante pour la résolubilité par radicaux d'une équation polynomiale.

Dans la suite de l'article, K désigne un corps, L une extension algébrique, P(X) un polynôme formel à coefficients dans K et scindé sur L et l un élément de L. Ω désigne la clôture algébrique de K, dans cet article, toute extension est identifiée à un sous-corps de Ω. Cette identification est licite, d'après le paragraphe sur la clôture algébrique.

• P(X) est séparable dans L si et seulement s'il possède autant de racines distinctes que son degré. Le polynôme est donc scindé sans racine multiple.

• l est séparable dans K si et seulement si son polynôme minimal est séparable.

• L est séparable dans K si et seulement si tous ses éléments le sont.

• K est un corps parfait si et seulement si toutes ses extensions algébriques sont séparables.

Le polynôme X-2 sur le corps des nombres rationnels est séparable. En effet, il possède trois racines, une réelle : la racine cubique de deux et deux complexes conjuguées entre elles. les trois racines sont distinctes. De manière générale sur les nombres rationnels, tout polynôme irréductible est séparable.

Cependant, tous les polynômes irréductibles ne sont pas séparables. Considérons F_p(X) le corps des fractions rationnelles sur le corps fini de cardinal p, où p est premier, et Ω sa clôture algébrique. Si K est choisi comme étant égal à l'ensemble des fractions de F_p(X), alors K contient un polynôme non séparable. Considérons le polynôme P(X) de K[Y] égal à Y-X. Ce polynôme possède une unique racine X qui est donc un élément algébrique de degré p. De plus ce polynôme est irréductible. On en déduit que F_p(X) est le corps de décomposition du polynôme P(X). Comme X est sa seule racine, P(X) n'est pas séparable.

Cas des polynômes

L'analyse de la séparabilité d'une extension revient à l'analyse des propriétés des polynômes sur K. En effet, pour qu'une extension soit séparable il faut et il suffit que ses éléments le soient, ce qui signifie que leurs polynômes minimaux le sont aussi. Il apparaît alors nécessaire d'établir des critères de séparabilité d'un polynôme. Il en existe un particulièrement simple.

• Un polynôme est séparable si et seulement si lui et sa dérivée formelle sont premiers entre eux.

Dans le cas d'un polynôme irréductible, particulièrement intéressant dans le cadre de la théorie de Galois, cette proposition implique le corollaire suivant :

• Un polynôme irréductible est séparable si et seulement si sa dérivée formelle n'est pas nulle.

Ce corollaire permet de résoudre simplement le cas des corps de caractéristique nulle. En particulier, les trois corps les plus usuels, les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes sont des corps parfaits. Il existe néanmoins un critère de séparabilité d'un polynôme irréductible.

• Supposons K de caractéristique p et P(X) un polynôme irréductible. Il est séparable si et seulement s'il n'existe pas de polynôme Q[X] dans K[X] tel que l'on ait l'égalité P(X)=Q(X).

Cas des extensions et des corps

Ce paragraphe précédent permet de résoudre simplement le cas des corps de caractéristique nulle.En particulier, les trois corps les plus usuels, les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes sont des corps parfaits.

• Si un corps est de caractéristique nulle, alors il est parfait.

Ce ne sont néanmoins pas les uniques cas où une extension est séparable. La proposition suivante donne un exemple de séparabilité indépendamment de la caractéristique:

• Soit L une extension de K et M une extension de L. Alors si M est une extension séparable de K, alors M est séparable sur L et L est séparable sur K.

Dans le cas où la caractéristique de K est égale à p, alors K est parfait si et seulement si tout élément de K possède une racine pième. On en déduit que:

• Tout corps fini est parfait.

Ces propriétés sont démontrées dans l'article détaillé.

Morphisme dans la clôture algébrique

L'une des raisons essentielles de l'intérêt de la notion de séparabilité provient du nombre de morphisme de corps de L dans Ω laissant invariant K. Cette propriété est utilisée pour le théorème de l'élément primitif et pour de nombreuses propriétés des extensions galoisiennes. L'unique cas traité ici est celui ou L est une extension finie. Dans la suite de l'article, L est toujours supposé finie de dimension n. Le cas ou il existe un élément l générateur de l'extension est traité par la proposition suivante:

• S'il existe un élément l tel que K(l) est égal à L alors il existe au plus n morphismes de L dans Ω. Si l est séparable, alors il existe exactement n morphismes.

Dans le cas général, c’est-à-dire sans hypothèse de séparabilité ni de simplicité de l'extension, une propriété analogue est toujours vraie.

• Le nombre de morphismes de L dans Ω laissant invariant K est inférieur ou égal à n.s

Elle se démontre à l'aide de la propriété suivante:

• Soit une famille finie de m morphismes de L dans Ω. Si les morphismes sont distincts deux à deux, alors la famille est libre.

Dans le cas particulier où l'extension est engendrée par des éléments séparables, l'hypothèse de simplicité de l'extension n'est pas nécessaire pour obtenir un résultat analogue à la première proposition:

• Si L est engendré par des éléments séparables alors il existe exactement n morphismes de corps de L à valeur dans Ω laissant invariant K.

Pour la démonstration, les propositions suivantes sont utilisées :

• Si L est une extension finie de K₁ et K₁ une extension de K, alors un morphisme de K₁ dans Ω laissant invariant K se prolonge en un morphisme de L dans Ω laissant invariant K.
• Si L est une extension de K₁ contenant n₁ morphismes de L dans Ω laissant invariant K₁ et K₁ une extension de K contenant n₂ morphismes de K₁ dans Ω laissant invariant K, alors il existe au moins n₁.n₂ morphismes de L dans Ω laissant invariant K.

Théorème de l'élément primitif

Toutes les propriétés du paragraphe précédent peuvent se résumer par le fait que, dans le contexte des extensions finies L sur K, la séparabilité implique que le nombre de morphismes est égal à la dimension de L sur K. Une analyse plus fine montre que les deux propriétés sont équivalentes. Ces deux propriétés sont aussi équivalente à une troisième: l'extension est engendrée par un unique élément séparable. Ainsi, pour une famille importante de corps, celle des corps parfaits contenant non seulement les corps usuels mais aussi tous les corps finis, toute extension finie est non seulement séparable, mais il existe autant de morphismes que la dimension de l'extension et l'extension est simple. Ce résultat se résume dans par un théorème fondamental pour la théorie de Galois, connu sous le nom de l'élément primitif.

• Les quatre conditions suivantes sont équivalentes:

1. L'extension L est séparable sur K.
2. L'extension est engendrée par des éléments séparables.
3. Il existe exactement n morphismes de L dans Ω laissant invariant K.
4. L est une extension simple générée par un élément séparable.

La démonstration est donnée dans l'article détaillé.

Forme trace

Il existe un critère nécessaire et suffisant pour qu'une extension finie soit séparable, elle utilise la forme trace, une forme bilinéaire de L. Soit φ l'application qui à a associe l'endomorphisme φ_a défini par :

La forme trace associe à deux éléments a et b de L la trace de l'endomorphisme φ_ab.

• L'extension L est séparable sur K si et seulement si la forme trace est non dégénérée.

La démonstration est donnée dans l'article détaillé.