Le dilemme du prisonnier est un exemple célèbre de la théorie des jeux. Dans ce jeu, comme dans bien d'autres, il est fait l'hypothèse que chaque joueur ici appelé « prisonnier » essaye de maximiser ses bénéfices sans tenter d'en faire autant avec ceux de l'autre joueur.
La forme habituelle de ce dilemme est celle de deux prisonniers retenus dans des cellules séparées et qui ne peuvent communiquer.
Ce problème modélise bien les questions de politique tarifaire : le concurrent qui baisse ses prix gagne des parts de marché et peut ainsi augmenter ses ventes et accroître éventuellement son bénéfice... mais si son concurrent principal en fait autant, les deux peuvent y perdre.
L'équilibre de Nash pour ce type de jeu ne conduit pas à un optimum de Pareto (c'est-à-dire un état dans lequel on ne peut pas améliorer le bien-être d’un individu sans détériorer celui d’un autre). À l'équilibre, chacun des prisonniers choisit de faire défaut même s'ils gagnaient à coopérer. Malheureusement pour les prisonniers, chacun est incité à tricher après avoir fait la promesse de coopérer. C'est le cœur du dilemme.
Ceci est cependant sensiblement différent d'une situation de marché libre ou les deux agents économiques "prisonniers" peuvent coopérer pour atteindre un optimum de Pareto (parce que l'optimum vu par les producteurs ne va pas toujours dans l'intérêt du consommateur, les lois antitrust de tous les pays interdisent, officiellement du moins, les ententes entre producteurs concurrents).
Dans un jeu du dilemme du prisonnier répété, chaque joueur a l'opportunité de « punir » l'autre joueur pour sa précédente non-coopération. La coopération peut donc survenir dans cette configuration. L'incitation à tricher est inférieure à la menace de punition, ce qui introduit la possibilité de coopérer.
Le dilemme du prisonnier est utilisé par les économistes, les mathématiciens, les psychologues, les biologistes et les spécialistes de science politique. Le paradigme correspondant est également mentionné en philosophie et dans le domaine des sciences cognitives.
La première expérience du dilemme du prisonnier a été réalisée en 1950 par Melvin Dresher et Merill Flood, qui travaillaient alors pour la RAND Corporation. Par la suite, Albert W. Tucker la présenta sous la forme d'une histoire:
Deux suspects sont arrêtés par la police. Mais les agents n'ont pas assez de preuves pour les inculper, donc ils les interrogent séparément en leur faisant la même offre. « Si tu dénonces ton complice et qu'il ne te dénonce pas, tu seras remis en liberté et l'autre écopera de 10 ans de prison. Si tu le dénonces et lui aussi, vous écoperez tous les deux de 5 ans de prison. Si personne ne se dénonce, vous aurez tous deux 6 mois de prison. »
On résume souvent les utilités de chacun dans ce tableau:
| 1 \ 2 | Se tait | Dénonce |
|---|---|---|
| Se tait | (-1/2;-1/2) | (-10;0) |
| Dénonce | (0;-10) | (-5;-5) |
Chacun des prisonniers réfléchit de son côté en considérant les deux cas possibles de réaction de son complice.
« Quel que soit son choix, j'ai donc intérêt à le dénoncer. »
Si chacun des complices fait ce raisonnement, les deux vont probablement choisir de se dénoncer mutuellement, ce choix étant le plus empreint de rationalité. Conformément à l'énoncé, ils écoperont dès lors de 5 ans de prison chacun. Or, s'ils étaient tous deux restés silencieux, ils n'auraient écopé que de 6 mois chacun. Ainsi, lorsque chacun poursuit son intérêt individuel, le résultat obtenu n'est pas optimal au sens de Vilfredo Pareto.
Ce jeu est à somme non nulle, c'est-à-dire que la somme des gains pour les participants n'est pas toujours la même : il soulève une question de coopération.
Pour qu'il y ait dilemme, la tentation T (je le dénonce, il se tait) doit payer plus que la coopération R (on se tait tous les deux) , qui doit rapporter plus que la punition pour égoïsme P (je le dénonce, il me dénonce), qui doit être plus valorisante que la duperie S (je me tais, il me dénonce). Ceci est formalisé par :
T > R > P > S (ici : 0 > -0,5 > -5 > -10)
Pour qu'une collaboration puisse naître dans un dilemme répété (ou itératif) (voir plus bas), 2 coups de coopération R doit être plus valorisant que l'alternat Tentation / Dupe. Ce qui fait la condition 2R > T+S [ici : 2*-0,5 > 0 + (-10)].
Le dilemme du prisonnier fournit un cadre général pour penser les situations où deux ou plusieurs acteurs ont un intérêt à coopérer, mais un intérêt encore plus fort à ne pas le faire si l'autre le fait, et aucun moyen de contraindre l'autre. Certains domaines comme l'écologie ou l'économie utilisent intégralement la nature mathématique du problème en donnant un sens concret aux paramètres, par exemple celui de paiements. D'autres ne retiennent que le cadre conceptuel pour catégoriser des situations où les paiements sont peu quantifiables.
Les exemples suivants permettront de mieux cerner la diversité des applications possibles et la grande généralité du cadre du dilemme du prisonnier.
Un exemple canonique est le cas de deux entreprises qui n'ont pas le droit de s'entendre sur une politique commerciale commune (ce que la loi antitrust états-unienne interdit) et qui se demandent s'il leur faut procéder ou non à une baisse de prix pour conquérir des parts de marché aux dépens de leur concurrent. Il va de soi que si tous deux baissent leur prix, ils seront tous deux perdants par rapport au statu quo, sauf bien sûr si le marché présente l'élasticité exceptionnelle pouvant caractériser le secteur informatique, par exemple.
Le dilemme du prisonnier est donné, à tort, comme exemple que la concurrence conduit à des situations socialement déplorables. En effet, si l'on fait intervenir un troisième joueur (la société), il est possible d'imaginer qu'elle préfère l'absence de coopération des criminels entre eux, ou l'absence de collusion entre les entreprises. Surtout, les baisses de prix résultant de la concurrence, que la théorie des jeux aborde avec réalisme, profite à l'ensemble des consommateurs en leur permettant d'obtenir la même satisfaction à moindre prix, et donc d'utiliser la différence pour consommer ailleurs, et favoriser le dynamisme général. Le bien-être général a augmenté même si du point de vue subjectif et incomplet du seul producteur, on eut pu croire que la concurrence amenait à une baisse de la satisfaction des acteurs concernés. En d'autres termes, le résultat du jeu peut être jugé comme socialement préférable. En fait, la structure du dilemme du prisonnier isole un mode d'interaction entre joueurs, permet d'en tirer des conséquences directes pour eux sans préjudice d'autres conséquences à préciser au cas par cas.
La théorie des jeux, et le dilemme du prisonnier en particulier, sont fréquemment utilisés en écologie pour modéliser l'évolution des comportements entre individus d'une même espèce vers des stratégies évolutivement stables. L'apparition et le maintien des comportements de coopération par exemple, se prêtent à ce type d'analyse. Richard Dawkins en a fait l'un des points centraux de sa théorie du gène égoïste, puisque l'optimisation de la survie peut passer par un comportement apparemment altruiste.
Soit deux pays A et B. Les pays A et B peuvent choisir de maintenir ou non une armée. Si tous deux ont une armée, la guerre est impossible, car trop coûteuse. Les dépenses militaires sont alors une perte nette pour les deux pays. Si un seul a une armée, il peut évidemment conquérir sans coup férir l'autre, ce qui est pire. Enfin, si aucun n'a d'armée, la paix règne et les pays n'ont pas de dépenses militaires. La situation de coopération permettant à chacun de ne pas avoir d'armée est évidemment préférable à la situation où les deux pays entretiennent une armée, mais elle est instable : chacun des deux pays a une forte incitation à se doter unilatéralement d'une armée pour envahir l'autre.
Les sciences humaines ont également adopté le cadre conceptuel du dilemme du prisonnier pour parler de situations bloquées dans un état défavorable par la difficulté à coordonner les actions des différents agents ou à vérifier (et éventuellement punir) les déviances égoïstes. Ce cadre a ainsi été utilisé par les sociologues pour expliquer la lenteur de l'adoption des semences à haut rendement dans le monde agricole français dans les années 1960. L'ensemble des agriculteurs auraient eu intérêt à adopter ces variétés, mais la pression sociale s'exerçant sur ceux qui tentaient l'expérience dissuadait de nombreux agriculteurs.
Le dilemme du prisonnier se rencontre fréquemment dans les relations de couple. Prenons ainsi l'exemple d'un couple marié en état de conflit, chacun des partenaires ayant eu une aventure extra-conjugale à l'insu de l'autre. Chacun des deux voudrait pouvoir avouer sa faute et se réconcilier (coopération). Cependant, chacun des deux craint le mépris de l'autre s'il est le seul à avoir fauté, et préfère l'état de conflit.
Dans son livre The Evolution of Cooperation (L'évolution de la coopération, 1984), Robert Axelrod étudie une extension classique de ce dilemme : le jeu se répète, et les participants gardent en mémoire les précédentes rencontres. Cette version du jeu est également appelée dilemme itératif du prisonnier. Il donne une autre illustration à partir d'une situation équivalente : deux personnes échangent des sacs, censés contenir respectivement de l'argent et un bien. Chacun a un intérêt immédiat à passer un sac vide, mais il est plus avantageux pour les deux que la transaction ait lieu.
Quand on répète ce jeu durablement dans une population, les joueurs qui adoptent une stratégie intéressée y perdent au long terme, alors que les joueurs apparemment plus désintéressés voient leur « altruisme » finalement récompensé. Axelrod y a vu une explication de l'apparition d'un comportement altruiste dans un contexte d'évolution darwinienne par sélection naturelle.
La meilleure stratégie dans un contexte déterministe « œil pour œil » (« Tit for Tat », une autre traduction courante étant « donnant-donnant ») a été conçue par Anatol Rapoport pour un concours informatisé. Son exceptionnelle simplicité a eu raison des autres propositions. Elle consiste à coopérer au premier coup, puis à reproduire à chaque fois le comportement de l'adversaire du coup précédent. Une variante, « œil pour œil avec pardon », s'est révélée un peu plus efficace : en cas de défection de l'adversaire, on coopère parfois (de 1 à 5 %) au coup suivant. Cela permet d'éviter de rester bloqué dans un cycle négatif. Le meilleur réglage dépend des autres participants. En particulier, « œil pour œil avec pardon » est plus efficace si la communication est brouillée, c'est-à-dire s'il arrive qu'un autre participant interprète à tort un coup.
Pour le dilemme du prisonnier, il n'existe pas de stratégie toujours optimale. Si, par exemple, toute la population fait systématiquement défaut sauf un individu qui respecte « œil pour œil », alors ce dernier a un désavantage au premier coup. Face à une unanimité de défaut, la meilleure stratégie est de toujours trahir aussi. S'il y a une part de traîtres systématiques et d'"œil pour œil", la stratégie optimale dépend de la proportion et de la durée du jeu. En faisant disparaître les individus qui n'obtiennent pas de bons totaux et en faisant se dupliquer ceux qui mènent, on peut étudier des dynamiques intéressantes. La répartition finale dépend de la population initiale.
Si le nombre N d'itérations est fini et connu, l'équilibre de Nash est de systématiquement faire défaut, comme pour N=1. Cela se montre simplement par récurrence :
Pour que la coopération reste intéressante, le futur doit donc rester incertain pour tous les participants -- une solution possible est de tirer un N aléatoire.
La situation est aussi étonnante si l'on joue indéfiniment au dilemme du prisonnier, le score étant la moyenne des scores obtenus (calculée de manière appropriée).
Le dilemme du prisonnier est la base de certaines théories de la coopération humaine et de la confiance. Si l'on assimile les situations de transactions qui réclament de la confiance à un dilemme du prisonnier, un comportement de coopération dans une population peut être modélisé comme un jeu entre plusieurs joueurs, répété - d'où la fascination de nombreux universitaires depuis longtemps : en 1975, Grofman et Pool estimaient déjà à plus de 2000 les articles scientifiques sur le sujet.
Ces travaux fournissent une base modélisable, quantitative, pour l'étude scientifique des lois morales.
Axelrod donne dans son ouvrage Comment réussir dans un monde égoïste un exemple de stratégie œil pour œil dans le cadre du dilemme du prisonnier itératif : durant la guerre des tranchées, les combattants des deux camps, et ce, contre l'avis du commandement, appliquaient le principe vivre et laisser-vivre. Les protagonistes ne déclenchaient ainsi jamais en premier les hostilités mais répliquaient fortement à toute agression.
Il existe des variantes de ce jeu qui, en modifiant légèrement les gains aboutissent à des conclusions très différentes :
La poule-mouillée est un autre jeu à somme non-nulle, où la coopération est récompensée. Ce jeu est similaire au dilemme du prisonnier en ce qu'il est avantageux de trahir lorsque l'autre coopère. Mais il en diffère en ce qu'il est avantageux de coopérer même si l'autre trahit : la défection double est la pire des solutions -- donc un équilibre instable -- alors que dans le dilemme du prisonnier il est toujours avantageux de trahir, ce qui rendait l'équilibre de double défection stable. La double coopération est dans les deux jeux un équilibre instable.
Une matrice de gains ressemble à :
| 1 \ 2 | Coopère | Trahit |
|---|---|---|
| Coopère | (+5;+5) | (+1;+10) |
| Trahit | (+10;+1) | (-20;-20) |
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L'appellation « Poule-mouillée » est tirée du « jeu » automobile :
Il est avantageux d'apparaitre comme un "dur" qui ne renoncera pas et d'intimider l'adversaire... tant qu'on parvient à rester en jeu.
On trouve des exemples concrets dans beaucoup de situations quotidiennes : l'entretien de la maison commune à un couple, par exemple, ou l'entretien d'un système d'irrigation entre deux fermiers. Chacun peut l'entretenir seul, mais ils en profitent tous les deux autant. Si l'un d'entre eux n'assure pas sa part d'entretien, l'autre a toujours intérêt à le faire à sa place, pour continuer à arroser. Par conséquent, si l'un parvient à établir une réputation d'indélicat dominant -- c'est-à-dire si l'habitude est prise que ce soit toujours l'autre qui s'occupe de l'entretien -- il sera susceptible de maintenir cette situation.
Cet exemple peut également s'appliquer en politique internationale, dans la situation où deux États entretiennent un différend qui est susceptible de déboucher sur une guerre. Passer pour une poule mouillée est une garantie d'être ultérieurement confronté à nouveau à la même situation (comme la France et la Grande-Bretagne le constatèrent avant 1939), mais maintenir une réputation suppose une dépense (entretien militaire) et des risques (guerre toujours possible).
Un jeu de l'assurance a la même structure qu'un dilemme du prisonnier, à ceci près que les récompenses en cas de coopération mutuelle sont plus importantes que si le partenaire fait défaut. Une matrice de gain ressemblera à :
| 1 \ 2 | Coopère | Trahit |
|---|---|---|
| Coopère | (+10;+10) | (+1;+5) |
| Trahit | (+5;+1) | (+3;+3) |
Le jeu de l'assurance peut aboutir à un équilibre très stable, puisque l'équilibre le plus profitable est stable au sens de Nash : aucun n'a intérêt à dévier. Il est néanmoins possible qu'un joueur dévie par erreur, la confiance ou l'habitude sont alors remises en cause.
"Ami ou ennemi" (« Friend or Foe ») est un jeu actuellement diffusé sur une chaîne câblée aux États-Unis (Game Show Network). C'est un exemple de dilemme du prisonnier testé sur des particuliers dans un cadre artificiel. Sur le plateau, trois paires de participants s'affrontent. Quand une paire est éliminée, ses deux membres se répartissent leurs gains selon un dilemme du prisonnier. Si les deux coopèrent (« Friend »), ils partagent équitablement la somme accumulée au cours du jeu. Si aucun ne coopère (« Foe »), ils se quittent sans rien. S'il l'un coopère et que l'autre fait défaut, le premier part les mains vides et l'autre remporte le tout. La situation est un peu différente de la matrice canonique plus haut : le gain est le même pour qui voit sa confiance trahie ou qui emporte l'autre dans sa perte. Si un joueur sait que l'autre le trahira, sa réponse lui est indifférente. L'équilibre non coopératif est donc neutre, alors qu'il est stable dans le cas habituel. La matrice à considérer est donc :
| Joueur 1; Joueur 2 | Coopère | Trahit |
|---|---|---|
| Coopère | (50%;50%) | (0%;100%) |
| Trahit | (100%;0%) | (0%;0%) |
Ce jeu serait très utile pour qui souhaiterait analyser le dilemme du prisonnier sur un cas réel. Comme on ne peut participer qu'une fois au jeu, toutes les considérations concernant les jeux répétés ne sont pas applicables, la stratégie « Œil pour Œil » n'intervient pas... cependant, on ne sait pas ce qui se passe après l'émission.