Distribution d'Erlang

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Introduction

Erlang


Paramètres	$k > 0$ Paramètre de forme (entier) $λ > 0$ intensité (réel) alt.: $θ = 1/ λ > 0$ paramètre d'échelle (réel)
Support	$x \in [0; \infty)$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{λ ^{k} x ^{k - 1} e ^{- λ x}}{( k - 1 )!}$
Fonction de répartition	$\frac{γ ( k , λ x )}{( k - 1 )!} = 1 - \sum_{n = 0}^{k - 1} e^{- λ x} (λ x)^{n} / n!$
Espérance	$k / λ$
Médiane (centre)	pas de forme simple
Mode	$(k - 1) / λ$ pour $k \geq 1$
Variance	$k / λ^{2}$
Asymétrie (statistique)	$\frac{2}{k}$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{6}{k}$
Entropie	$k / λ + (k - 1) ln (λ) + ln ((k - 1)!)$ $+ (1 - k) ψ (k)$
Fonction génératrice des moments	$(1 - t / λ)^{- k}$ pour $t < λ$
Fonction caractéristique	$(1 - i t / λ)^{- k}$

La distribution d'Erlang est une loi de probabilité continue, dont l'intérêt est dû à sa relation avec les distributions exponentielle et Gamma. Cette distribution a été développée par Agner Krarup Erlang afin de modéliser le nombre d'appels téléphoniques simultanés.

Généralité

La distribution est continue et possède deux paramètres: le paramètre de forme k, un entier, et le paramètre d'intensité λ, un réel. On utilise parfois une paramétrisation alternative, où on considère plutôt le paramètre d'échelle θ = 1 / λ.

Lorsque le paramètre de forme k vaut 1, la distribution se simplifie en la loi exponentielle.

La distribution d'Erlang est un cas spécial de la distribution Gamma, où le paramètre de forme k est un entier. Dans la loi Gamma, ce paramètre est réel positif.

Caractérisation

Densité de probabilité

La Densité de probabilité de la distribution d'Erlang est

f (x; k, λ) = \frac{λ ^{k} x ^{k - 1} exp ( - λ x )}{( k - 1 )!} pour x > 0.

Le paramètre k est le paramètre de forme, et λ le paramètre d'intensité. Une paramétrisation équivalente met en jeu le paramètre d'échelle θ, défini comme l'inverse de l'intensité (c'est-à-dire θ = 1 / λ):

f (x; k, θ) = \frac{x ^{k - 1} exp ( - \frac{x}{θ} )}{θ ^{k} ( k - 1 )!} pour x > 0.

La présence de la factorielle implique que k doit être un entier naturel.

Fonction de répartition

La Fonction de répartition de la distribution d'Erlang est

F (x; k, λ) = \frac{γ ( k , λ x )}{( k - 1 )!}

où γ() est la fonction gamma incomplète. Cette fonction peut aussi s'écrire:

F (x; k, λ) = 1 - n = 0 \sum k - 1 e^{- λ x} \frac{( λ x ) ^{n}}{n !}

Occurrence

Temps d'attente

Les événements qui se produisent avec une intensité moyenne donnée, sont modélisés par un processus de Poisson. Les temps d'attente entre k occurrences sont distribués selon une distribution d'Erlang. La question associée du dénombrement des événements dans un laps de temps donné est décrite par la loi de Poisson.

Processus stochastiques

La distribution d'Erlang est aussi la distribution de la somme de k variables aléatoires i.i.d. (indépendamment et identiquement distribuées) selon une loi exponentielle.