Relativité générale

Avant Einstein

Avec Einstein

En physique des particules

Méta

La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie relativiste de la gravitation, c'est-à-dire qu'elle décrit l'influence sur le mouvement des astres de la présence de matière et, plus généralement d'énergie, en tenant compte des principes de la relativité restreinte. La relativité générale englobe et supplante la théorie de la gravitation universelle d'Isaac Newton qui en représente la limite aux petites vitesses (comparées à la vitesse de la lumière) et aux champs gravitationnels faibles.

La relativité générale est principalement l'œuvre d'Albert Einstein, dont elle est considérée comme la réalisation majeure, qu'il a élaborée entre 1907 et 1915. Les noms de Marcel Grossmann et de David Hilbert lui sont également associés, le premier ayant aidé Einstein à se familiariser avec les outils mathématiques nécessaires à la compréhension de la théorie (la géométrie différentielle), le second ayant franchi conjointement avec Einstein les dernières étapes menant à la finalisation de la théorie après que ce dernier lui eut présenté dans le courant de l'année 1915 les idées générales de sa théorie.

La relativité générale est fondée sur des concepts radicalement différents de ceux de la gravitation newtonienne. Elle énonce notamment que la gravitation n'est pas une force, mais est la manifestation de la courbure de l'espace (en fait de l'espace-temps), courbure elle-même produite par la distribution de matière. Cette théorie relativiste de la gravitation donne lieu à des effets absents de la théorie newtonienne mais vérifiés, comme l'expansion de l'Univers, ou potentiellement vérifiables, comme les ondes gravitationnelles et les trous noirs. Aucun des nombreux tests expérimentaux effectués à ce jour (2009) n'a pu la mettre en défaut, à l'exception possible de l'anomalie Pioneer qui pourrait être la première indication d'un écart entre les phénomènes observés et la relativité générale, quoique d'autres interprétations de ce phénomène soient envisageables.

Nécessité d'une théorie relativiste de la gravitation

La théorie de la gravitation universelle proposée par Newton à la fin du XVII siècle se fonde sur la notion de force de gravitation agissant selon le principe d'action à distance, c'est-à-dire le fait que la force exercée par un corps (par exemple le Soleil) sur un autre (la Terre) est déterminée par leur position relative à un instant donné, et ce quelle que soit la distance les séparant. Ce caractère instantané est incompatible avec l'idée de la relativité restreinte proposée par Einstein en 1905. En effet, selon cette dernière, aucune information ne peut se propager plus vite que la vitesse de la lumière dans le vide. Par ailleurs, le principe de l'action à distance repose sur celui de la simultanéité de deux événements : la force que le Soleil exerce sur la Terre à un instant donné est déterminée par leurs propriétés « à cet instant ». La relativité restreinte stipule que le concept de simultanéité de deux événements n'est pas défini, la perception de la simultanéité étant différente d'un observateur à un autre pour peu que ceux-ci soient animés d'une vitesse relative non nulle. Ces contradictions amènent Einstein dès 1907 à réfléchir à une théorie de la gravitation qui soit compatible avec la relativité restreinte. Le résultat de sa quête est la théorie de la relativité générale.

De la relativité de Galilée à la relativité restreinte

Au XVI siècle, Galilée affirme et explique que les lois de la physique sont les mêmes dans des référentiels en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres. C'est le principe de relativité (de Galilée).

Il utilisera aussi l'additivité des vitesses, selon laquelle n'importe quelle vitesse peut être atteinte, le tout n'étant qu'une question de moyens. Si une balle roule à 10 km/h dans un train (et dans le sens de la marche) qui va lui-même à 100 km/h par rapport au sol, alors la balle va à 110 km/h par rapport au sol.

Dans sa Mécanique, Isaac Newton présupposait que les corps étaient dotés d’une vitesse absolue, autrement dit qu’ils étaient soit « réellement » au repos, soit « réellement » en mouvement. Il remarqua aussi que ces vitesses absolues étaient non mesurables autrement que relativement aux vitesses des autres corps (de la même manière, la position d’un corps n’était mesurable que relativement à celle d’un autre corps, etc.). En conséquence, toutes les lois de la mécanique newtonienne devaient opérer à l’identique quel que soit le corps considéré et quel que soit son mouvement.

Cependant, Newton pensait que sa théorie ne pouvait avoir de sens sans l’existence d’un référentiel fixe absolu dans lequel la vitesse de tout corps pourrait être mesurée, même si celui-ci ne pouvait être détecté.

En fait, il est possible en pratique de bâtir une mécanique newtonienne sans cette hypothèse : la théorie résultante (nommée d’ailleurs relativité galiléenne) n’a d’ailleurs pas d’intérêt opérationnel particulier et ne doit pas être confondue avec la relativité d'Einstein qui implique en plus la constance de la vitesse de la lumière dans tous les référentiels et en moins l’hypothèse galiléenne que les vitesses relatives s’additionnent (ces deux postulats sont en effet mutuellement incompatibles).

Au XIX siècle, le physicien écossais James Clerk Maxwell formula un ensemble d’équations, les équations du champ électromagnétique, qui conduisait à prédire la propagation d'ondes électromagnétiques de vitesse $c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$ dans un milieu électrostatique de constante ε₀ et magnétostatique de constante μ₀. Cette vitesse phénoménalement élevée, même dans un milieu raréfié comme l'air, avait la même valeur que la vitesse de propagation de la lumière. Il proposa que la lumière ne soit rien d'autre qu'une onde électromagnétique.

Les théories corpusculaires de la lumière semblaient compatibles avec le principe de relativité de Galilée ainsi que la théorie de Maxwell qui penchait en faveur de l'existence d'un éther luminifère envisagé par Huygens. Mesurer la vitesse du système solaire par rapport à ce milieu élastique fut l'objet des expériences d’interférométrie menées par Michelson et Morley. Leurs expériences ont démontré que le vent apparent d'éther était nul, quelle que soit la période de l'année. Supposer que l'éther était constamment accroché à la Terre aurait été une remise en cause trop grave du principe de relativité de Galilée. D'autre part, l'éther présentait l'inconvénient d'être à la fois impalpable et très rigide puisque capable de propager les ondes à une vitesse phénoménale.

Il fallut attendre Albert Einstein en 1905 pour remettre en cause radicalement la notion d'éther, porter au plus haut le principe de relativité de Galilée en postulant que les équations de Maxwell obéissent elles-mêmes à ce principe, et en tirer les conséquences révolutionnaires dans un article resté célèbre : De l’électrodynamique des corps en mouvement.

C'est la naissance de la relativité restreinte :

• le principe de relativité de Galilée est conservé ;
• l'invariance des équations de Maxwell entraîne immédiatement la constance de la vitesse de la lumière c dans tous les référentiels galiléens : l'additivité des vitesses n'est plus vraie et la vitesse de la lumière est inatteignable (sauf pour la lumière, qu'elle soit considérée comme une onde ou comme constituée de photons, particules de masse nulle) ;
• les mesures de longueur, d'intervalle de temps, (et de vitesse) ne sont pas les mêmes suivant le référentiel de l'observateur : mesurer la longueur du wagon donne des résultats différents suivant que l'on est dedans ou que l'on est immobile au sol (mais ce n'est pas le cas pour la largeur du wagon, longueur perpendiculaire à la vitesse) ; de même pour l'écoulement du temps ; le champ électrique devient magnétique et réciproquement. Toutes ces transformations des systèmes de coordonnées du continuum espace-temps et du champ électromagnétique sont formalisées par les transformations de Lorentz (paradoxalement mises au point par Lorentz et Henri Poincaré pour défendre l'existence de l'éther) ;
• la notion de temps absolu disparaît : deux horloges identiques situées dans deux référentiels galiléens différents ne battent pas au même rythme.

En écrivant l'expression de l'énergie cinétique d'un corps de masse m de la manière la plus simple respectant le principe de relativité, Einstein a fait apparaître une énergie au repos E=mc qui se manifestera par la suite dans les phénomènes de fusion et de fission nucléaires.

De la relativité restreinte à la relativité générale

La théorie de la relativité restreinte (1905) modifiait les équations utilisées pour comparer les mesures de longueur et de durée faites dans différents référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres. Cela eut pour conséquence que la physique ne pouvait plus traiter le temps et l’espace séparément, mais seulement comme un espace à quatre dimensions, appelé l'espace-temps de Minkowski.

En effet, lors de mouvements à des vitesses non négligeables devant c (vitesse de la lumière dans le vide), temps et espace s'altèrent de façon liée, un peu comme deux coordonnées d'un point en géométrie analytique s'altèrent de façon liée lorsqu’on pivote les axes du repère.

Par exemple, en géométrie euclidienne habituelle la distance $\Delta l$ entre deux points de coordonnées $(x,y,z)$ et $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ vérifie $(\Delta l{)}^2=(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2$ (avec $\Delta x=x^{\prime }-x$, etc.), mais dans l'espace de Minkowski deux points sont repérés par les coordonnées $(t,x,y,z)$ et $(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, où $t$ et $t^{\prime }$ sont les coordonnées de temps, et la « distance » $\Delta l$ entre ces points vérifie $(\Delta l{)}^2=-(c.\Delta t{)}^2+(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2$. Ce calcul donne une « distance » nulle entre deux points du parcours d'un rayon lumineux. Il donne aussi toutes les mesures de longueurs matérielles, des intervalles de temps, des vitesses en relativité restreinte, qui suscitent toujours l'étonnement.

L'espace-temps de Minkowski étant néanmoins de courbure nulle (c'est-à-dire plat) on le qualifie d'espace pseudo euclidien.

Tel devait être, pour Einstein, l'espace sans gravitation (et sans accélération pour l'observateur). La gravitation newtonienne, se propageant instantanément, n'est pas compatible : Einstein se mit donc en quête d'une nouvelle théorie de la gravitation.

Il admit l'égalité entre la masse gravitationnelle et la masse inertielle comme hypothèse, la fameuse formule E = m**c autorisant alors à utiliser l'énergie totale d'un corps en lieu et place de sa masse. Ce sera fait grâce à l'outil mathématique nommé tenseur énergie.

Expert en expériences par la pensée, il imagina un disque en rotation regardé par un expérimentateur placé en son centre et tournant avec : comme pour Huygens, il y a une force centrifuge au niveau du périmètre qui est perçue comme une force gravitationnelle (car la masse gravifique et la masse inerte sont égales par hypothèse). De plus, en voulant rester dans le cadre de la relativité restreinte, il conclut que l'observateur doit constater la réduction du périmètre mais pas du rayon : ce n'est pas possible dans un espace plat. Conclusion : la gravitation oblige à utiliser une géométrie non-euclidienne.

Einstein imagina un expérimentateur enfermé dans un ascenseur aux parois opaques, subissant une montée à accélération constante : l'ascenseur d'Einstein dans lequel il est impossible pour une personne de savoir s'il y a accélération constante ou bien attraction gravitationnelle constante (car la masse gravifique et la masse inerte sont égales par hypothèse). Conclusion : équivalence locale entre mouvement accéléré et gravitation, ce qui devait se retrouver dans les équations différentielles de la nouvelle théorie. C'est son principe d'équivalence.

Enfin, Einstein voulait trouver une expression des lois de la nature (à l'époque : dynamique, gravitation et électromagnétisme) qui soit inchangée quel que soit le référentiel (accéléré ou galiléen, etc.) : c'est la relativité galiléenne généralisée à tous les repères (on nomme cela la covariance).

La grande difficulté étant de mettre ces principes sous forme mathématique, il en discuta avec David Hilbert qui, d'abord dubitatif, faillit lui ravir la vedette en trouvant la théorie en même temps que lui (voir : Controverse sur la paternité de la relativité).

La relativité générale ajouta à la relativité restreinte que la présence de matière pouvait déformer localement l’espace-temps lui-même (et non pas juste les trajectoires), de telle manière que des trajectoires dites géodésiques — c'est-à-dire intuitivement de longueur minimale — à travers l’espace-temps ont des propriétés de courbure dans l’espace et le temps. Le calcul de la « distance » dans cet espace-temps courbé est plus compliqué qu'en relativité restreinte, en fait la formule de la « distance » est créée par la formule de la courbure, et vice-versa.

Les géodésiques sont les trajectoires vérifiant le principe de moindre action, suivies par les particules test (c'est-à-dire dont l'influence sur le champ de gravitation dans lequel elles se déplacent est négligeable, ce qui est le cas par exemple d'un satellite artificiel autour de la Terre ou bien d'un photon passant à côté du Soleil mais pas d'une étoile orbitant autour d'une autre dans un système binaire oscillant rapidement), elles ont donc une importance pratique très importante pour la compréhension intuitive d'un espace courbe.

Conséquences théoriques et observations

• Einstein calcula immédiatement (1915) la déviation des positions apparentes des étoiles par le Soleil : le 29 mai 1919, les mesures furent faites par Sir Arthur Eddington lors d’une éclipse solaire, et malgré quelques imprécisions de mesure, cela constitua une première confirmation de la théorie.
• Cette théorie prévoit une rotation lente de l'ellipse de révolution de Mercure qui concorde parfaitement avec les observations.
• La gravitation (forte) d'une planète doit y contracter les longueurs observées depuis une position lointaine. Cela n'a pu être observé directement à ce jour.
• La gravitation doit ralentir le temps, donc modifier les fréquences et les longueurs d'onde des rayonnements émis : on peut citer par exemple une expérience menée par Pound et Rebka à l'université Harvard (1959), qui a permis de détecter un changement de la longueur d'onde d’une source monochromatique de Cobalt provoqué par le champ gravitationnel terrestre sur une altitude de 22,5 mètres .
• Schwarzschild, en trouvant en 1916 une solution exacte des équations de la gravitation, a montré qu'il pouvait exister des conditions où un phénomène de trou noir apparaissait. L'astronomie observe des phénomènes similaires.
• Dans certaines conditions, des ondes gravitationnelles, discrètes, doivent se propager dans l'espace. L'expérience franco-italienne Virgo cherche à en détecter.
• Autre conséquence pratique de la relativité générale : les horloges atomiques en orbite autour de la Terre du système de positionnement GPS (Global Positioning System) nécessitent une correction pour le ralentissement dû à la gravité terrestre.

Pour résumer cette théorie, Einstein amusa un public de journalistes : « Imaginez que vous regardez loin, très loin devant vous et que vous avez une très bonne vue, une très très bonne vue, alors vous arriverez à voir… votre dos ».

Référentiels et synchronisation des horloges

L’idée centrale de la relativité est que l’on ne peut pas parler de quantités telles que la vitesse ou l’accélération sans avoir auparavant choisi un cadre de référence, un référentiel. Tout mouvement, tout événement est alors décrit relativement à ce référentiel de l'observateur.

La relativité restreinte postule que ce référentiel doit être inertiel et peut être étendu indéfiniment dans l’espace et dans le temps.

Dans le but de ne privilégier aucun type de référentiels en particulier dans l'écriture des lois de la nature (principe de covariance générale), la relativité générale traite en plus les référentiels non-inertiels, c'est-à-dire dans lesquels un corps libre de toute contrainte ne suit pas un mouvement rectiligne et uniforme. Dès lors, tout système de coordonnées est a priori admissible et, généralement, ses limites se révèlent à l'usage.

En physique classique, un exemple de référentiel non-inertiel est celui d'un véhicule qui nous transporte et qui suit un virage : la force centrifuge que l’on ressent contrarie le mouvement inertiel des corps par rapport au véhicule. Un autre exemple est le référentiel lié à la terre, qui du fait de la rotation terrestre voit se manifester la force de Coriolis bien mise en valeur par le pendule de Foucault. Une force centrifuge est dite fictive car elle n'est qu'une manifestation de l'inertie (premier principe de Newton), et non pas due à l'application d'une force.

En relativité générale, il est admis que l’on ne peut définir un référentiel que localement et sur une période finie. Cette limitation est une nécessité car elle s'impose dans plusieurs cas :

• Cas le plus simple : un référentiel cartésien de l'espace en trois dimensions tournant sur lui-même autour d'un axe. L'utilisation de la relativité restreinte impose une contraction du périmètre du cercle de rotation qui aboutit à un périmètre nul à une certaine distance de l'axe de rotation. À cette distance, ce référentiel n'est plus utilisable.
• L'espace s'avérant courbe, en relativité générale, l'utilisation d'un référentiel droit (utilisé pour un espace euclidien ou pseudo-euclidien, comme l'espace de Minkowski) revient à projeter cet espace sur un espace euclidien, ce qui ne peut être que localement et provisoirement possible, de la même manière, qu'à cause de la courbure de la surface terrestre, on ne peut dessiner une carte plate sans distorsion que sur une région limitée. Un exemple célèbre est la métrique de Schwarzschild qui correspond à un référentiel sphérique pseudo-euclidien à quatre dimensions (applicable sans limitation à l'espace de Minkowski), et qui n'est plus valable à l'approche du rayon de Schwarzschild.
• La synchronisation des horloges se heurte à d'insurmontables difficultés : dans de nombreux cas il n'est pas possible de synchroniser parfaitement les horloges se trouvant sur un circuit fermé, ni même sur d'autres types d'axes de coordonnées car les propriétés de l'espace évoluant avec le système observé, des horloges initialement synchronisées se désynchronisent. On peut toutefois réussir cette synchronisation en plaçant l'observateur dans un référentiel synchrone (c'est-à-dire en chute libre dans le champ de gravitation) où sont choisis comme axes des géodésiques de l'espace-temps, évoluant au cours du temps de ce référentiel.

Principe d'équivalence

Parce qu’il n’a jamais été possible de mettre en évidence le moindre écart entre la masse d’inertie (résistance d’un corps à l’accélération) et la masse pesante (qui détermine son poids dans un champ de gravité), le principe d'équivalence en relativité générale postule qu’il n’y a pas lieu de distinguer localement un mouvement de chute libre dans un champ gravitationnel constant, d’un mouvement uniformément accéléré en l’absence de champ gravitationnel : dans les deux cas la chute d'un corps est décrite par la même loi, celle de la chute libre.

Ce résultat n’est que local, c’est-à-dire valable pour un espace restreint, « petit ». Dans un volume plus important et avec des accéléromètres sensibles, on distinguera au contraire très bien un champ de gravité (forces concourantes), une simple accélération (forces parallèles) et un effet centrifuge (forces divergentes). Mais dans un volume quasi-ponctuel, aucune mesure ne peut faire la distinction.

D'ailleurs, cette équivalence est utilisée dans le cadre de l’entraînement des astronautes : ceux-ci montent dans des avions effectuant un vol parabolique où la force centrifuge contrebalance quelques minutes les forces de gravité, simulant ainsi la « chute libre » d’un corps satellisé (mais dans ce cas la chute libre peut durer indéfiniment, puisque la trajectoire est une boucle).

Conséquences du principe d'équivalence

Principalement : existence d'un référentiel inertiel en chaque point de l'espace-temps, et détermination complète du champ de gravitation par la métrique du référentiel choisi.

• En chaque point de l'espace-temps il existe un référentiel localement inertiel : un référentiel en chute libre (dans le champ de gravitation, s'il y en a) dans lequel tous les corps chutent simultanément au référentiel, si bien qu'ils ne paraissent subir aucune gravitation par rapport à ce référentiel. Par hypothèse un tel référentiel décrit un espace de Minkowski, localement. Ainsi le choix d'un référentiel fait-il disparaitre, localement, les effets de la gravitation, ou bien il en crée ; mais ces effets ne sont que locaux.
• En chaque point de l'espace-temps, la gravitation est décrite comme le choix d'un référentiel non-inertiel $(x_0;x_1;x_2;x_3)$, et la métrique de ce référentiel contient toutes les informations sur le champ de gravitation local. Construction de la métrique. Si $\left(X_0;X_1;X_2;X_3\right)$ sont les coordonnées dans un référentiel inertiel local (avec, par convention, $X_0=c.t$), la métrique de cet espace de Minkowski est notée $\Delta X^i.\Delta X_i=d{X}^i.d{X}_i$, avec la convention d'Einstein, et comme $d{X}_i=\frac{\partial X_i}{\partial x_j}.d{x}_j$, on obtient comme métrique pour le référentiel non-inertiel choisi : $d{X}^i.d{X}_i=\frac{\partial X_i}{\partial x_j}.\frac{\partial X^i}{\partial x^k}.d{x}^k.d{x}_j$, que l'on note aussi $g_k^j.d{x}^k.d{x}_j=g^{ij}.d{x}_i.d{x}_j$, avec $g^{ij}=\frac{\partial X_k}{\partial x_i}.\frac{\partial X^k}{\partial x_j}$. Construction du référentiel. La métrique ${\left(g^{ij}\right)}_{i;j\in \{0;1;2;3\}}$ étant donnée, la recherche des ${\left(\frac{\partial X_i}{\partial x_j}\right)}_{i;j\in \{0;1;2;3\}}$ ne donne pas une solution unique, mais donne une infinité de solutions correspondantes, pour la moitié d'entre elles, à un changement de référentiel non-inertiel $(x_i{)}_{i;j\in \{0;1;2;3\}}$ à $(X_i{)}_{i;j\in \{0;1;2;3\}}$ inertiel  ; et pour chacune de ces solutions, en connaissant un des deux référentiels on obtient l'autre par intégration.

Le temps propre $\tau$ du référentiel inertiel (Minkowskien) vérifie $c^2.d{\tau }^2=d{X}_i.d{X}^i=g^{ij}.d{x}_i.d{x}_j$. En posant $d{x}^i=g^{ij}.d{x}_j$, avec la convention d'Einstein, on peut écrire $d{x}^i.d{x}_i=c^2.d{\tau }^2$.

La matrice ${\left(\frac{\partial X_i}{\partial x_j}\right)}_{i;j\in \{0;1;2;3\}}$ est inversible, comme tout changement de référentiel est mathématiquement réversible.

Dérivée covariante

Cas général

Soit un quadrivecteur $U=(U_i{)}_{i\in \{0;1;2;3\}}$ pour un référentiel (localement) inertiel $(X_i{)}_{i\in \{0;1;2;3\}}$. Ses coordonnées dans un référentiel quelconque $(x_i{)}_{i\in \{0;1;2;3\}}$ sont $(u_i{)}_{i\in \{0;1;2;3\}},$, avec $U_i=\frac{\partial X_i}{\partial x_j}.u_j,$.

On a donc $d{U}_i=d\left(\frac{\partial X_i}{\partial x_j}\right).u_j+\frac{\partial X_i}{\partial x_j}.d{u}_j=\frac{{\partial }^2{X}_i}{\partial x_k\partial x_j}.d{x}_k.u_j+\frac{\partial X_i}{\partial x_j}.d{u}_j=\frac{\partial X_i}{\partial x_j}.\left(\frac{\partial x_j}{\partial X_l}.\frac{{\partial }^2{X}_l}{\partial x_k\partial x_m}.d{x}_k.u_m+d{u}_j\right)$.

On nomme « symboles de Christoffel » les termes ${\Gamma }_i^{jk}=\frac{\partial x_i}{\partial X_l}.\frac{{\partial }^2{X}_l}{\partial x_j\partial x_k}$ et ${\Gamma }_{jk}^i=\frac{\partial x^i}{\partial X_l}.\frac{{\partial }^2{X}^l}{\partial x^j\partial x^k}$, qui souvent s'expriment par une formule différente mais équivalente.

En appelant différentielle absolue ou différentielle covariante l'opérateur $D$ ou $\nabla$ défini par $\nabla u^i=d{u}^i+{\Gamma }_{jk}^i.u^j.d{x}^k$, on peut écrire $d{U}^i=\frac{\partial X^i}{\partial x_j}.\nabla u^j$.

On a donc la propriété : .

On appelle parfois principe de correspondance en relativité générale le fait de pouvoir substituer $\frac{\nabla }{d\tau }$ à $\frac{d}{dt}$ dans les équations de la physique classique pour en faire des équations de la physique relativiste, dans la mesure où des quadrivecteurs peuvent y remplacer les vecteurs.

La dérivée covariante du quadri-vecteur dans le référentiel quelconque est définie par $\frac{\nabla u^i}{d\tau }$

Dans le cas où, par rapport au référentiel inertiel, le quadri-vecteur est constant au cours du temps propre $\tau$, on a $\frac{\nabla u^i}{d\tau }=0$.

Particule en chute libre

Considérons une particule de masse non-nulle mais négligeable (c'est-à-dire n'influençant pas le champ gravitationnel environnant de manière significative) en chute libre : un référentiel associé à cette particule est donc inertiel et dedans sa quadri-vitesse, de coordonnées $(V_i{)}_{i\in \{0;1;2;3\}}$, y est constante.

On obtient donc dans un référentiel quelconque$v_i=\frac{d{x}_i}{d\tau }$ et $\frac{\nabla v^i}{d\tau }=0$.

Cette équation peut aussi s'écrire $\frac{d^2{x}^i}{d{\tau }^2}+{\Gamma }_{jk}^i.\frac{d{x}^j}{d\tau }.\frac{d{x}^k}{d\tau }=0$, ce que l'on nomme aussi équation des géodésiques en relativité générale.

Par ailleurs, pour toute particule en chute libre, on a $c^2.d{\tau }^2=d{X}^i.d{X}_i=g_{ij}.d{x}^i.x^j$, donc $c^2=V^i.V_i=g_{ij}.v^i.v^j$ : la pseudo-norme de la quadri-vitesse est égale à c dans tout référentiel.

Ces calculs n'ont pas lieu d'être pour une particule de masse nulle car son temps propre n'existe pas.

Particule de masse nulle

Dans le cas d'une particule de masse nulle, dont on suppose qu'elle n'influence pas le champ de gravitation environnant, on ne peut utiliser son temps propre car il n'existe pas, par contre on sait que dans un référentiel inertiel, sa vitesse est constante, donc $\forall i\in \{0;1;2;3\},d{U}^i=0,$ d'où $\forall i\in \{0;1;2;3\},\nabla u^i=0$.

On en tire $\frac{d{u}^i}{d{x}^k}=-{\Gamma }_{jk}^i.u^j$ . Cette égalité est d'ailleurs aussi vérifiée par les particules massives (toujours de masse négligeable) en chute libre.

Par ailleurs, la pseudo-norme de la quadri-vitesse des particules de masse nulle est $0=U^i.U_i=g_{ij}.u^i.u^j$ dans tout référentiel.

Si la lumière est bien modélisée par des particules de masse nulle, elle subit bien la gravitation en relativité générale, suivant une même loi que les autres particules ; seules changent les coordonnées de la vitesse initiale.

Dynamique

Supposons que dans un référentiel quelconque soit exercée une force relativiste, sous la forme d'un quadri-vecteur ${\left(f^i\right)}_{i=0;1;2;3}$, sur le corps observé. Par changement de référentiel, on peut considérer cette force dans un référentiel d'inertie local par un quadri-vecteur ${\left(F^i\right)}_{i=0;1;2;3}$ tel que $F^i=\frac{\partial X^i}{\partial x^j}.f^j$.

De l'égalité $m.\frac{d\vec{V}}{dt}=\vec{F}$, en physique classique, on tire par le principe de correspondance $m.\frac{d{V}^i}{d\tau }=F^i$ en relativité restreinte, puis enfin $m.\frac{\nabla v^i}{d\tau }=f^i$, équation de la dynamique relativiste en présence d'un champ de gravitation.

Tenseur d’énergie et courbure de l’espace

Mathématiquement parlant, Einstein modélise l’espace-temps par une variété pseudo-riemannienne quadri-dimensionnelle, et son équation du champ gravitationnel relie la courbure de la variété en un point, au tenseur énergie-impulsion en ce point, ce tenseur étant une mesure de la densité de matière et d’énergie (étant entendu que matière et énergie sont équivalentes).

Cette équation est à la base de la fameuse formule qui dit que la courbure de l’espace définit le mouvement de la matière, et la matière définit la courbure de l’espace (les deux étant équivalents). La meilleure façon de se représenter la géométrie de l’espace-temps est d’imaginer que celui-ci se comporte comme une surface élastique creusée localement par la présence d’un objet massif, une boule par exemple. Pour reprendre une expression célèbre due à John Archibald Wheeler : « La masse et l’énergie disent à l’espace-temps comment se courber, et la courbure de l’espace-temps dit à la matière comment se comporter ».

Tenseur d'énergie

Le tenseur d'énergie-impulsion $T_{ij}$ est le tenseur de densité de l'énergie et de l'impulsion de la matière répartie dans l'espace. Il généralise le quadrivecteur énergie-impulsion de la relativité restreinte : cela est rendu nécessaire par l'étude de la matière comme étendue dans l'espace.

En posant $\frac{\nabla }{\partial x_k}={\nabla }^k$, on montre que ce tenseur vérifie ${\nabla }^k{T}_{ij}=0$.

Courbure de l'espace-temps

Dans un espace plat (euclidien ou pseudo-euclidien comme celui de Minkowski), le théorème de Schwarz dit que $\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial }{\partial x_j}-\frac{\partial }{\partial x_j}\frac{\partial }{\partial x_i}=0$, ce que l'on écrit aussi $\left[{\partial }^i;{\partial }^j\right]=0$, avec et $[A;B]=A\circ B-B\circ A$.

Une mesure de la courbure de l'espace est dans l'expression de $\left[{\nabla }^i;{\nabla }^j\right]=\frac{\nabla }{\partial x_i}\frac{\nabla }{\partial x_j}-\frac{\nabla }{\partial x_j}\frac{\nabla }{\partial x_i}$, avec $\frac{\nabla }{\partial x_i}={\nabla }^i$. Émerge de ces calculs un peu laborieux le tenseur de Riemann-Christoffel construit uniquement à partir de la métrique $g_{ij}$.

Quelques calculs supplémentaires permettent d'en tirer le tenseur de Ricci $R_{ij}$. Ce tenseur vérifie un certain nombre de propriétés qui le rendent incontournable dans la recherche du lien entre la courbure de l'espace et les corps qui y sont présents. On défini aussi le scalaire nommé la courbure principale $R=R_i^i=g^{ij}.R_{ij}$.

Einstein savait que le tenseur $G_{ij}=R_{ij}-\frac{1}{2}{g}_{ij}.R$ vérifie l'égalité ${\nabla }^k{G}_{ij}=0$, comme le tenseur énergie-impulsion.

Élie Cartan montra, après qu'Einstein ait exposé ses équations de la relativité générale, que le seul tenseur $G_{ij}$ non trivial, d'ordre 2, lié à la géométrie et vérifiant cette dernière égalité est bien ce tenseur, nommé maintenant le « tenseur d'Einstein ».

Les équations d'Einstein

Einstein a postulé que les équations liant la matière présente et la courbure de l'espace sont $R_{ij}-\frac{1}{2}{g}_{ij}.R=\chi T_{ij},$ où $\chi$ est une constante homogénéisant les dimensions. On détermine par l'approximation newtonienne que $\chi =\frac{8\pi G}{c^4}$.

Hilbert a justifié cette équation par le principe de moindre action dès 1915.

Dans ces équations, il s'agit de prolonger le lien créé entre la masse inertielle et l'énergie totale du corps, énoncé dans relativité restreinte, en une relation reliant la cause de la gravitation (la courbure de l'espace) à l'énergie de la matière présente.

L’équation du champ d’Einstein n’est pas linéaire, et n'a pas une solution unique. Pour la relativité générale, les lois de Newton ne sont que des approximations valables dans un référentiel local, à faible champ de gravitation et pour de petites vitesses.

La relativité générale se distingue des autres théories existantes par la simplicité du couplage entre matière et courbure géométrique, mais il reste à réaliser l’unification entre la relativité générale et la mécanique quantique, et le remplacement de l’équation du champ gravitationnel par une loi quantique plus générale. Peu de physiciens doutent qu’une telle Théorie du Tout donnerait lieu aux équations de la relativité générale dans certaines limites d’application, de la même manière que cette dernière permet de redonner la loi de la gravitation de Newton comme approximation.

Constante cosmologique et observations

L’équation du champ peut contenir un paramètre « supplémentaire » appelé la constante cosmologique $\Lambda$ qui a été introduite à l’origine par Einstein pour qu’un univers statique (c’est-à-dire un univers qui n’est ni en expansion, ni en contraction) soit solution de son équation.

Les équations d'Einstein s'écrivent alors : $R_{ij}-\frac{1}{2}{g}_{ij}.R=\chi T_{ij}+g_{ij}.\Lambda$.

Cet effort se solda par un échec pour deux raisons : d'un point de vue théorique, l’univers statique décrit par cette théorie est instable ; et de plus les observations de l’astronome Edwin Hubble dix ans plus tard démontrèrent que l’Univers était en fait en expansion. Donc $\Lambda$ fut abandonnée, mais récemment, des techniques astronomiques ont montré qu’une valeur non nulle de ce paramètre est nécessaire pour expliquer certaines observations.

L’étude des solutions de l'équation d'Einstein est une branche de la physique nommée cosmologie. Elle permet notamment d’expliquer l’excès de l’avance du périhélie de Mercure, de prédire l’existence des trous noirs, des ondes gravitationnelles et d’étudier les différents scénarii d’évolution de l’Univers. Notons que l’astrophysicien bien connu Stephen Hawking a démontré qu’un univers comme le nôtre comportait nécessairement des singularités gravitationnelles.

Plus récemment (octobre 2004), des mesures effectuées par laser avec les satellites LAGEOS ont montré que le champ gravitationnel de la Terre lui-même engendre des distorsions de positionnement de la Lune de deux mètres par an comparativement à ce qui serait prévu par les seules lois de Newton. Ce chiffre est en accord à 1% près avec ce qui est prévu par la Relativité générale.

Lentille gravitationnelle

La lumière suit les géodésiques (des lignes d'espace-temps) qui sont déformées aux abords d'un corps massif par effet de la gravitation. Par conséquent, et contrairement au prévisions newtonniennes, la trajectoire de la lumière peut être fortement infléchie en présence d'un corps massif (une planète particulièrement massive) près de la trajectoire d'un rayon, et même deux rayons issus d'un même corps présent d'un côté de la planète massive, et dirigés dans des directions différentes, peuvent se rejoindre du côté opposé et créer une image dédoublée, une sorte de mirage d'origine gravitationnelle.

De tels phénomènes sont observés depuis de nombreuses années et servent notamment à la détection de la matière noire présente dans l'univers.

Trou noir

À la suite de la découverte de la métrique de Schwarzschild (1916), il est apparu dans les équations que pour toute masse sphérique il existe une distance au centre (le rayon de Schwarzschild) où des phénomènes particuliers se manifestent, si la masse est de rayon inférieur : pour un observateur un peu éloigné, les corps s'approchant de ce rayon semblent s'immobiliser, ses horloges s'arrêter et ceci pour l'éternité ; de plus, mis à part les phénomènes gravitationnels, nulle information ne semble pouvoir venir de cette masse centrale, pas même la lumière, et la masse centrale elle-même n'est décelable que par ses effets gravitationnels.

Toutefois, ce rayon de Schwarzschild n'apparut que comme une possible singularité topologique de l'espace-temps, une absurdité qui marquait une limite de la théorie, ce qui ne satisfaisait pas Einstein. Entre 1938 (Georges Lemaître) et 1939 (Robert Oppenheimer) est émise l'hypothèse que c'était un phénomène réaliste, nommé collapse gravitationnel. Dans les années 1960, la nature de ce phénomène a été précisée : il a été compris que le rayon de Schwarzschild n'est pas une singularité topologique de l'espace-temps mais seulement une singularité de la métrique utilisée due à la courbure de l'espace alors que la métrique est construite comme si l'espace était plat. Les phénomènes décrits par la métrique de Schwarzschild restent valables pour l'observateur éloigné, une métrique de Kruskal (1960) a permis de comprendre comment se fait le passage du rayon de Schwarzschild pour le voyageur.

Depuis, différents types de trous noirs ont été mis en évidence (avec ou sans charge ou moment cinétique), leur dynamique a été étudiée en détails, l'hypothèse de leur évaporation a été précisément formulée, et la notion, très hypothétique, de trou de ver a été avancée. L'observation et la détection des trous noirs est toujours l'objet de travaux intenses.

Ondes gravitationnelles

En considérant un champ de gravitation faible, la métrique $g_{ij}$ s'écarte peu de la métrique ${\eta }_{ij}$ de l'espace de Minkowski : $g_{ij}={\eta }_{ij}+h_{ij}$. Avec la condition de petitesse de $h_{ij}$ et en ajoutant une condition de jauge, le tenseur de Ricci peut prendre la forme simple $R_{ij}=\frac{1}{2}\square h_{ij}$, où $\square$ est le d'alembertien.

Dans le vide, l'équation d'Einstein s'écrit $\square h_{ij}=0$, ce qui est une équation d'onde. La gravitation peut donc, dans ces conditions, être considérée comme une onde.

On peut de même considérer la gravitation comme une perturbation ondulatoire par rapport à une métrique quelconque non-perturbée, c'est-à-dire dans un espace-temps courbe, et on peut aussi considérer des ondes gravitationnelles de forte intensité, et étudier le rayonnement énergétique de ces ondes (en utilisant le tenseur énergie-impulsion).

La détection de telles ondes est l'objet d'intenses recherches internationales ; la petitesse des énergies mises en jeu les rendant difficilement perceptibles. La seule détection faite à ce jour est indirecte : en 1974, une perte d'énergie a été observée dans un pulsar binaire (PSR 1913+16) et a été interprétée comme due à l'émission d'ondes gravitationnelles car conforme aux prévisions faites précédemment par Thibault Damour.

La physique quantique permet d'émettre l'hypothèse qu'à cette onde est associée une particule responsable de l'interaction gravitationnelle : le graviton, de masse nulle car se déplaçant à la vitesse de la lumière dans le vide.

Modèles d'Univers

À partir des équations d'Einstein, plusieurs modèles d'Univers sont possibles. En 1915, Einstein concevait l'Univers comme stationnaire, ce que les observations cosmologiques ont contredit. Plus tard Alexandre Friedmann et Georges Lemaître ont proposé des modèles non-stationnaires : la métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker montre que trois modèles homogènes et isotropes de l'Univers sont possibles (suivant la valeur d'un paramètre dans la métrique : espace plat, à courbure positive, ou à courbure négative). L'hypothèse de l'homogénéité et l'isotropie, qui constitue le principe cosmologique et est en accord avec les observations sur une grande échelle, implique que l'on peut choisir un temps universel tel que la métrique de l'espace soit la même à tout instant, pour tous les points et dans toutes les directions, ce qui est compatible avec la théorie du Big Bang qui prévaut actuellement.

D'autres modèles cosmologiques, plus exotiques, sont compatibles avec les équations de la relativité générale. Par exemples : l'Univers de de Sitter correspondant en physique un univers homogène, isotrope, vide de matière et ayant une constante cosmologique positive ; l'univers mixmaster qui est un univers vide de matière, homogène mais anisotrope, dont le taux d'expansion diffère dans les trois directions d'espace ; l'Univers de Gödel qui ne respecte pas le principe de causalité.

Exemples de métriques

Les équations d'Einstein sont :$R_{ab}-\frac{1}{2}R{g}_{ab}=\kappa T_{ab}.$

• La Métrique de Schwarzschild :Dans le vide et pour une constante cosmologique identiquement nulle, l'équation d'Einstein se réduit à :

Dans le cas particulier d'un champ central engendré par un corps à symétrie sphérique, la métrique de Schwarzschild (16 janvier 1916) fournit une solution exacte à cette équation (qui n'est valide qu'à l'extérieur du corps) :

où M la masse totale du corps, et dΩ le carré de la distance élémentaire sur la sphère euclidienne de rayon unité en coordonnées sphériques :

• La métrique Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, où l'Univers est localement homogène et isotrope.

• L'espace de Sitter correspondant en physique à un Univers vide avec constante cosmologique positive.

• L'espace anti de Sitter correspondant en physique à un Univers vide avec constante cosmologique négative.