Ensemble-produit

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Le produit de deux ensembles est l'ensemble des couples dont le premier élément appartient au premier ensemble, et le deuxième élément appartient au deuxième ensemble.

Le produit de deux ensembles A et B se note A×B.

A \times B = {(a, b) ∣ a \in A, b \in B}

On peut évidemment étendre cette notion à un nombre quelconque d'ensembles :

i = 1 \prod n A_{i} = {(a_{i})_{i = 1}^{n} ∣\forall i, i \in [1; n] \cap N : a_{i} \in A_{i}}

Le cardinal d'un produit d'ensembles est égal au produit (dans N) de leurs cardinaux.

L'ensemble-produit est aussi appelé produit cartésien.

Plus généralement, le produit d'une famille $(E_{i})_{i \in I}$ d'ensembles indexée par un ensemble non vide I est l'ensemble, noté $\prod_{i \in I} E_{i}$ , des applications f de I dans $⋃_{i \in I} E_{i}$ telles que, pour tout $i \in I$ , $f (i) \in E_{i} .$ L'un des énoncés équivalents de l'axiome du choix est: le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide.