Ensemble totalement ordonné

Soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre $⪯$. Rappelons que toute relation d'ordre $⪯$ vérifie les propriétés suivantes:

• (réflexivité) $\forall x,x⪯x.$
• (transitivité) $\forall x,y,z,(x⪯y\mathrm{et}y⪯z)\Rightarrow x⪯z.$
• (antisymétrie) $\forall x,y,(x⪯y\mathrm{et}y⪯x)\Rightarrow x=y.$

$(E,⪯)$ est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les élements de $(E,⪯)$ sont comparables pour $⪯$ :

• $\forall x,y,(x⪯y\mathrm{ou}y⪯x).$

1. L'ensemble $E=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ des parties finies de {1,2} est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant, E n'est pas totalement ordonné: {1} et {2} ne sont pas comparables au sens de l'inclusion.
2. L'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle $\le$ est totalement ordonné.