Équation de Dirac

L'équation de Dirac est une équation formulée par Paul Dirac en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique relativiste de l'électron.

Il s'agit au départ d'une tentative pour incorporer la relativité restreinte à des modèles quantiques, avec une écriture linéaire entre la masse et l'impulsion.

Cette équation décrit le comportement de particules élémentaires de spins demi-entiers, comme les électrons. Dirac cherchait à transformer l'équation de Schrödinger afin de la rendre invariante par l'action du groupe de Lorentz, en d'autre termes à la rendre compatible avec les principes de la relativité restreinte.

Cette équation prend en compte de manière naturelle la notion de spin introduite peu de temps avant et permit de prédire l'existence des antiparticules. En effet, outre la solution correspondant à l'électron, il découvre une nouvelle solution correspondant à une particule d'énergie négative et de charge opposée à celle de l'électron.

En 1932 Carl Anderson, alors qu'il étudiait des photons de haute énergie en provenance de l'espace, constate que l'interaction de ces photons avec la chambre à brouillard produit une particule qui s'identifie à la particule conjecturée par Dirac, le positron.

Il est par ailleurs notable que l'opérateur de Dirac, découvert pour des raisons absolument physiques (et théoriques) aura en mathématiques un glorieux avenir par son usage indispensable dans l'un des plus profonds résultats du siècle, le théorème d'Atiyah-Singer (en) (nommé d'après Michael_Atiyah et Isadore Singer) démontré dans les années 1960.

Sa formulation exacte est :

où m est la masse de la particule, c la vitesse de la lumière, $\hslash$ la constante de Planck réduite, x et t les coordonnées dans l'espace et dans le temps, et ψ(x, t) une fonction d'onde à quatre composantes. (La fonction d'onde doit être formulée par un spineur à quatre composants, plutôt que par un simple scalaire, du fait des exigences de la relativité restreinte.) Enfin ${\alpha }_i,i=0,1,2,3$ sont des matrices de dimension $4\times 4$ agissant sur le spineur $\psi$ et appelées matrices de Dirac. En termes des matrices de Pauli $\vec{\sigma }$ on peut écrire les matrices de Dirac, dans la représentation de Dirac (d'autres sont possibles, comme la représentation de Weyl ou la représentation de Majorana), sous la forme

Il est commun en mécanique quantique de considérer l'opérateur quantité de mouvement $\vec{p}\equiv -i\hslash \vec{\nabla }$ et dans ce cas l'équation de Dirac se réécrit de façon condensée

De plus, il est naturel de chercher une formulation covariante, ce qu'on fait en posant γ = γ₀ = α₀ et γ = − γ_i = α₀α_i, auquel cas on a (en adoptant les conventions c=1 et $\hslash =1$) une notation encore plus compacte :

où l'on a adopté la notation de Feynman $/a=a^{\mu }{\gamma }_{\mu }$