Équation de Pell-Fermat

En mathématiques et plus précisément en arithmétique, l'équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne polynomiale quadratique. Si n est un entier strictement positif, non carré parfait et m un entier quelconque, l'équation prend la forme suivante :

Les solutions recherchées sont les solutions telles que x et y soient des valeurs entières.

L'équation de Pell-Fermat est étudiée sous différentes formes par plusieurs civilisations comme la Grèce antique, l'Inde ou la civilisation arabe. La solution définitive est relativement tardive, elle est trouvée en Europe durant le XIX siècle.

Une forme particulièrement étudiée est celle où le paramètre m est égal à plus ou moins un. Plusieurs algorithmes permettent de déterminer une solution, la méthode chakravala ou celle des fractions continues sont les plus célèbres. L'étude des entiers quadratiques, un outil issu de la théorie algébrique des nombres, est nécessaire pour démontrer l'exhaustivité de la solution.

En France, cette équation est nommée Pell ou Pell-Fermat en l'honneur des mathématiciens, John Pell et Pierre de Fermat . C'est à Leonhard Euler que l'on doit l'association du nom de Pell à cette équation, à la suite d'une confusion car ce mathématicien n'a pas travaillé sur cette équation. La traduction de la dénomination équation de Pell est d'usage général en langue non française.

L'article Fraction continue d'un nombre quadratique propose une méthode de résolution si m est égal à ±1, ainsi que l'exemple pour la valeur de n égale à 61. L'article Méthode chakravala propose une autre méthode comparable, plutôt plus simple et plus rapide, à la fois pour la théorie et la pratique. Les exemples pour les valeurs de n suivantes : 19, 61, 83, 103 et 313 sont traités.

Origines

L'histoire de l'équation de Pell-Fermat est particulièrement riche et ancienne. On cite parfois le problème des bœufs d'Hélios posé par Archimède comme premier exemple d'équation de Pell-Fermat. Il n'est cependant pas certain qu'Archimède en soit l'auteur et que la relation avec la dite équation ait été faite. En revanche, Diophante d'Alexandrie, un mathématicien vivant probablement au III siècle parle explicitement d'une équation de cette nature, dans son livre intitulé Arithmetica. Avec les notations du paragraphe Définitions, il étudie le cas où n est égal à 1 et m à 1, -1 ou 12 ainsi que le cas ou n et m sont égaux à 9. Dès avant notre ère, les grecs connaissaient l'existence de l'égalité suivante :

Le mathématicien indien Brahmagupta semble être le premier à travailler profondément sur la question, il étudie le cas où m égal à un. En 628, il établit une égalité permettant, à l'aide de deux solutions de l'équation, d'en construire une troisième. Ainsi, en combinant deux fois la même solution, il en obtient une nouvelle et ainsi de suite, ce qui donne un nombre de solutions aussi grand que désiré. Cette méthode lui permet d'aller plus loin. A l'aide d'un couple (x, y) d'entiers tel que x - n.y soit égal à 2 en valeur absolue, Brahmagupta construit une solution. Puis à l'aide d'un algorithme guère plus complexe, il obtient un résultat analogue si x - n.y est égal à 4 en valeur absolue. Par tâtonnements, il parvient à trouver des solutions dans de nombreuses configurations. Son outil principal est l'algorithme d'Euclide, généralement nommé par les indiens le pulvérisateur car il casse les nombres en morceaux de plus en plus petits.

L'étape suivante est franchie par Bhāskara II un mathématicien indien vivant au XII siècle. Il enrichit la palette de techniques de Brahmagupta, et présente une méthode complète, nommée chakravala. Elle correspond à un algorithme astucieux permettant de déterminer une solution primitive, c'est-à-dire une solution qui génère toutes les autres. Il n'est pas dans l'usage des mathématiciens indiens de cette époque de rechercher une preuve autre qu'expérimentale. Quant à l'exhaustivité de l'ensemble des solutions trouvées, la question n'est pas non plus abordée.

L'Europe et l'âge classique

La popularité de cette équation provient d'un défi que Pierre de Fermat lance aux mathématiciens de l'Europe entière. Le 3 janvier 1657, il pose plusieurs questions dont celle d'une solution à l'équation de Pell-Fermat, déjà trouvée par Brahmagupta et Bhāskara II, elle correspond au cas n = 61 et m = 1. Il termine sa lettre par « J'attends la solution de ces questions ; si elle n'est fournie ni par l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique, elle le sera par la Narbonnaise ». Les mathématiciens visés sont Kenelm Digby, William Brouncker et John Wallis pour l'Angleterre, Frans van Schooten pour la Gaule Belgique et Bernard Frénicle de Bessy pour la Gaule Celtique. Une communication épistolaire s'ensuit, finalement publiée par Wallis. Elle nous indique que Brouncker découvre une méthode équivalente à celle des Indiens, sans néanmoins apporter plus de preuves que ses prédécesseurs. Frénicle de Bessy calcule l'intégralité des solutions pour n inférieur ou égal à 150, mais ses travaux sont perdus. Il défie Brouncker avec une valeur de 313 pour n. Brouncker propose une solution primitive, et précise qu'il ne lui a pas fallu plus d'une heure ou deux pour trouver. La réponse est la suivante :

Wallis démontre rigoureusement les découvertes de Brahmagupta, c'est-à-dire la raison qui permet de trouver une solution si la valeur atteinte est 2 ou 4 en valeur absolue. En 1658, Johann Heinrich Rahn publie un livre d'algèbre, contenant un exemple d'équation maintenant dite de Pell-Fermat, relu et traduit en anglais par John Pell. C'est la seule contribution connue du mathématicien sur l'équation portant maintenant son nom.

Plusieurs mathématiciens affirment qu'il existe une solution pour toute valeur de n (à condition de choisir m égal à 1), Fermat affirme de plus que le nombre de solutions est infini. En revanche aucune preuve de cette époque n'est connue.

Leonhard Euler reprend les travaux de Brouncker et ceux de Wallis, proposant le formalisme de la fraction continue, équivalent à l'algorithme développé par Bhāskara II. Seule la fin est différente, une fois trouvée une valeur égale à 2 ou 4 en valeur absolue, il est en effet plus rapide d'utiliser le lemme de Brahmagupta. Euler attribue à tort les travaux passés à Pell. Joseph-Louis Lagrange reprend les travaux d'Euler et ajoute les deux preuves manquantes. Il démontre que pour toute valeur de n il existe une infinité de solutions et que toutes ces solutions sont générées par celle issue de l'algorithme des fractions continues. Durant toute cette époque, l'Europe est inconsciente des travaux de leurs prédécesseurs indiens.

XIX siècle

La méthode Chakravala ou celle des fractions continues ont apporté tout ce qu'elles pouvaient sur cette équation, ce qui revient à traiter le cas du paramètre m égal à ±1. Le cas général demande de nouvelles idées et un siècle est encore nécessaire pour en venir à bout. Une approche fondatrice est l'œuvre de Carl Friedrich Gauss . Il travaille sur des structures munies d'une addition et d'une multiplication, mais qui ne sont pas celles de l'anneau des entiers. Une de ces structure est celle des entiers de Gauss, c'est-à-dire des nombres de la forme a + i.b où a et b sont des entiers et i l'unité imaginaire des nombres complexes. Un tel monde possède une division euclidienne, ce qui permet d'établir le théorème de Bachet-Bézout, le lemme d'Euclide ainsi que le théorème fondamental de l'arithmétique. Un tel anneau possède des nombres premiers de Gauss, et une approche similaire à celle de l'arithmétique dans Z est possible. Cette approche est maintenant le cadre d'une théorie appelée arithmétique modulaire. Une démarche de cette nature permet de venir à bout d'une équation diophantienne semblable à celle de Pell-Fermat, traité par le théorème des deux carrés de Fermat. Si i est remplacé, par exemple par le nombre d'or, égal à 1/2(1 + √5) on obtient une structure un peu similaire, aussi euclidienne, correspondant à l'équation de Pell-Fermat pour le paramètre n égal à 5, et il est possible d'y traiter l'équation pour toute valeur du paramètre n (cf Anneau des entiers de Q(√5)), à condition de disposer de la loi de réciprocité quadratique, démontrée par Gauss. Cette loi correspond encore à une équation diophantienne un peu similaire.

Les travaux de Gauss apportent deux progrès : ils offrent un bon cadre pour étudier l'équation de Pell-Fermat et ils permettent de la résoudre intégralement dans le cas où ce cadre est euclidien. Il existe cependant de nombreux cas où le caractère euclidien est absent. Ce cadre, euclidien ou non, porte le nom d'anneau d'entiers algébriques et pour la résolution de l'équation de Pell-Fermat, une petite partie est utile, ceux formés par des entiers quadratiques. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet étudie et explicite leur groupe des unités dans le cas général. Ce groupe correspond exactement aux solutions l'équation de Pell-Fermat pour m = ±1, fournissant une preuve différente de celle de Lagrange, et qui se généralise à tous les anneaux d'entiers algébriques et non pas uniquement quadratiques. Si ce résultat fait progresser la théorie des nombres, il ne permet pas de débloquer la question de l'équation de Pell-Fermat dans le cas général, car il ne concerne que les solutions pour le paramètre m = ±1.

Si les techniques de Gauss fonctionnent, c'est grâce à l'équivalent des nombres premiers et au théorème fondamental de l'arithmétique, que l'on trouve dans tout anneau euclidien. Des anneaux disposant de propriétés ou d'axiomes plus faibles ont un équivalent, on les appelle les anneaux factoriels. Dans le cas général, un anneau d'entiers algébriques n'est ni euclidien ni factoriel. Richard Dedekind , à la suite des travaux de Ernst Kummer , trouve la bonne approche. Il met en évidence les axiomes que vérifient les bons anneaux d'entiers algébriques, ils portent maintenant le nom d'anneau de Dedekind. À l'aide de cette nouvelle structure, il établit un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique. Un deuxième théorème, traitant du groupe des classes d'idéaux permet de trouver toutes les solutions de l'équation de Pell-Fermat et pour toutes valeurs de n.

Une équation diophantienne est une équation dont les solutions recherchées sont en général entières et parfois rationnelles. Ici, ce sont les solutions entières qui sont étudiées. Un autre terme est utilisé dans la définition :

• Un entier strictement supérieur à 1 est dit sans facteur carré si et seulement s'il n'existe aucun carré parfait autre que un le divisant.

La définition de l'équation est la suivante :

• Une équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne de la forme suivante, si n est un entier strictement positif non carré parfait et m un entier non nul quelconque :

Pour trouver toutes les solutions, si elles existent, il est nécessaire d'analyser le cas où m est inversible, c'est-à-dire s'il est égal en valeur absolue à un. Ce cas est suffisamment important pour que parfois l'équation de Pell-Fermat ne désigne que le cas où m est égal à 1, ou ±1. Il est commode de travailler dans le corps des nombres de la forme α + √n.β, ici α et β désignent deux rationnels. Cette double raison est la motivation des deux définitions suivantes :

• Une racine ou unité de l'équation est un nombre réel ρ de la forme a + √n.b, avec a et b deux entiers, tel que ρ.ρ' soit égal à ±1, ici ρ' désigne le nombre a - √n.b, appelé conjugué de ρ.

Un intérêt de la définition précédente provient du fait que les coefficients de r vérifient l'égalité suivante et que tout couple d'entiers satisfaisant cette égalité définit une racine.

• Une solution ω est dite primitive ou unité fondamentale si et seulement si, pour toute solution ρ il existe un entier e égal à 1 ou -1 et un entier relatif k tel que ρ soit égal à e.ω .

Dans toute la suite de l'article, les lettres Z, Q et R désignent respectivement les entiers relatifs, les nombres rationnels et les nombres réels.

Une première étude consiste à résoudre le cas où m est égal à ±1. Elle peut être vue soit comme une finalité, soit comme une étape nécessaire à la résolution complète de l'équation. Souvent le terme d'équation de Pell-Fermat ne désigne que ce cas particulier.

Il existe trois approches théoriques différentes dont deux proposent une méthode effective pour la résolution. La première méthode, au sens de l'histoire, est la plus efficace en terme algorithmique, c'est aussi plutôt la plus simple pour une approche théorique, elle porte le nom de chakravala donné par ses inventeurs indiens. La deuxième se fonde sur les fractions continues. Historiquement, elle est à la source de la première démonstration théorique connue de la structure des solutions. La troisième, issue de la théorie algébrique des nombres est la plus puissante, elle procède d'une démarche à même de résoudre intégralement l'équation.

Méthode chakravala

Cette méthode part initialement d'une utilisation judicieuse de la formule suivante, nommée identité de Brahmagupta :

Ainsi, si (a₁, b₁) et (a₂, b₂) forment deux couples de solutions, l'identité précédente montre que (a₁.a₂ + n.b₁.b₂, a₁b2 + a₂b1) est encore une solution. Si l'on note G l'ensemble des solutions de l'équation il est judicieux d'équiper l'ensemble d'une loi de composition interne * :

La loi * est une loi de composition interne d'après l'identité de Brahmagupta, le couple (1,0) est l'élément neutre, elle est associative, chaque élément (a₁, b₁) possède un symétrique (a₁, -b₁), enfin la loi est commutative. Ainsi (G, *) forme un groupe abélien.

L'étude de ce groupe permet la mise au point d'une méthode efficace de résolution pour les valeurs de m égales à 1 ou -1. Par exemple, si α est un élément de G, solution pour la valeur m = -1, α est une solution pour la valeur m = 1. Si α est solution pour la valeur m = +/-2 alors 1/2.α est une solution pour la valeur m = 1. Enfin, si α est solution pour la valeur m = +/-4 alors 1/8.α est une solution pour la valeur m = +/-1.

L'article détaillé propose une méthode exhaustive permettant de trouver une solution dans tous les cas, à partir des propriétés de la multiplication *. Il montre aussi comment cette méthode permet d'élucider la structure du groupe des solutions.

Une manière commode de voir ce groupe est d'identifier le couple (a₁, b₁) avec le nombre réel a₁ + √n. b₁. Cet ensemble forme un anneau, noté A dans cet article. Le groupe G s'identifie au groupe des unités de A, c'est-à-dire au groupe des éléments inversibles de l'anneau, muni de la multiplication des nombres réels. Pour cette raison, une solution de l'équation s'écrit souvent a₁ + √n. b₁. Une identité remarquable montre la relation :

Groupe des unités

Résoudre l'équation (1) revient finalement à expliciter les éléments du groupe des unités de l'anneau A, c'est-à-dire l'ensemble des éléments ayant un inverse. Ce groupe est isomorphe au produit direct du groupe cyclique à deux éléments Z/2Zet de Z. Il existe toujours un élément α du groupe qui engendre toutes les autres, ce qui justifie la définition d'unité fondamentale du groupe G, c'est-à-dire un élément α de G tel que :

L'existence d'une unité fondamentale pour toute valeur de n strictement supérieur à 1 et sans facteur carré est démontrée dans l'article détaillé. On parle parfois aussi de racine primitive.

• Soit α une unité fondamentale et a et b deux éléments de Z tel que : α = a *+ √*n. b. Le groupe G contient exactement quatre unités fondamentales : a *+ √*n. b, a *- √*n. b, *-*a *+ √*n. b *et -*a *- √*n. b.

Cette propriété est une conséquence directe du théorème de structure énoncé en début de paragraphe. La figure de droite illustre le cas où n est égal à 5. La structure de l'anneau est étudiée dans l'article Entier du corps quadratique Q(√5). Les différents éléments de G se trouvent toutes sur quatre branches d'hyperboles. Il existe deux droites asymptotiques d'équation x = +/- √n.y.

Fraction continue

Une solution de l'équation de Pell-Fermat est une bonne approximation fractionnaire de la racine carrée. Dans le cas général, une fraction de type p / q approxime un irrationnel avec une précision de 1/q ou 1/2q. Une solution de l'équation de Pell-Fermat est plus précise. En effet, si (a, b) est une solution :

Comme la racine de n ainsi que a / b sont tous les deux strictement supérieurs à 1, on obtient l'approximation suivante :

On démontre que les approximations de cette nature sont nécessairement des fractions continues. Ainsi, toute solution (a, b) est composée d'un numérateur et d'un dénominateur d'une réduite d'indice k d'une fraction continue, c'est-à-dire d'une expression de la forme :

Le développement en fraction continue d'un entier sans facteur carré est périodique à partir du deuxième rang, c'est-à-dire qu'il est de la forme suivante, ce qui justifie la notation utilisée :

La période forme un palindrome, selon que la période est paire ou impaire, l'une des deux configurations se produit :

Avec les notations de la ligne précédente, la fraction réduite, solution de l'équation de Pell, si la période est paire est d'indice 2l - 1, si la période est impaire, l'indice est 2l. Par exemple, si n est égal à 29, on trouve f₀ = 5, ce qui correspond à la partie entière de la racine carrée, puis la période [2, 1, 1, 2, 10]. La solution correspond à la fraction continue a/b suivante :

Cette approche permet de démontrer simplement un résultat structurel :

• Il existe une solution u de l'équation (1) telle que pour toute solution s de (1), il existe un entier ε égal à +/-1 et un entier n tel que s = ε.u*.*

Autrement dit, il existe une unité fondamentale.

Théorème des unités de Dirichlet

Si (a, b) satisfait une équation de Pell du type x -n.y = ±1, alors a + √n.b est un élément du groupe des unités de l'anneau des entiers de l'extension algébrique Q[√n]. Un élément du groupe des unités est un élément inversible dans l'anneau, l'égalité (a + √n.b).(a - √n.b) = ±1 montre de fait que l'élément est inversible.

Le groupe des unités ainsi que l'équation de Pell est étudié dans le cas où le paramètre est égal à cinq dans l'article Entier de Dirichlet, cette analyse montre la relation entre les équations de Pell et la théorie algébrique des nombres. L'analyse de cet anneau d'entiers a permis à Dirichlet et Legendre de trouver la démonstration du dernier théorème de Fermat dans le cas où le paramètre est égal à cinq.

On démontre alors :

Si $\sqrt{n}=[a_0,\overline{a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{m-1},a_m}]$ avec $m\ge 1$ car $n$ n'est pas un carré parfait, alors

l'équation de Pell $x^2-n{y}^2=1$ admet, suivant la parité de $m$, la solution minimale $(x_1,y_1)$ suivante :

• quand $m$ est pair, le couple $(x_1,y_1)=(p_{m-1},q_{m-1})$ où $\frac{p_{m-1}}{q_{m-1}}$ est la réduite de rang $(m-1)$ de $\sqrt{n}$
• quand $m$ est impair, le couple $(x_1,y_1)=(p_{2m-1},q_{2m-1})$ où $\frac{p_{2m-1}}{q_{2m-1}}$ est la réduite de rang $(2m-1)$ de $\sqrt{n}$

La réduite de rang $r$ de $\sqrt{n}$ étant la fraction $\frac{p_r}{q_r}=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\cdots +\frac{1}{a_r}}}}$ qui est irréductible.

Les autres solutions $(x_k,y_k)$ avec $k\ge 1$ sont obtenues en identifiant $x_k+y_k\sqrt{n}$ au développement de $(x_1+y_1\sqrt{n}{)}^k$

En particulier, $(x_2,y_2)=(x_1^2+n{y}_1^2,2x_1{y}_1)$, $(x_3,y_3)=(x_1^3+3n{x}_1{y}_1^2,3x_1^2{y}_1+n{y}_1^3)$, etc.

La formule de récurrence étant : $(x_{k+1},y_{k+1})=(x_k{x}_1+n{y}_k{y}_1,x_k{y}_1+y_k{x}_1)$

Exemples détaillés

• Recherche des solutions de $x^2-28y^2=1$

Le développement en fraction continue périodique de $\sqrt{28}$ est $[5,\overline{3,2,3,10}]$ (m = 4 et est pair)

La réduite de rang (m − 1) = 3 de $\sqrt{28}$ est $5+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{3}}}=\frac{127}{24}$

La solution minimale est donc $(x_1,y_1)=(127,24)$ qui vérifie bien $127^2-28\cdot 24^2=1$

Les autres solutions sont $(x_2,y_2)=(32257,6096)$, $(x_3,y_3)=(8193151,1548360)$, etc.

• Recherche des solutions de $x^2-19y^2=1$

Le développement en fraction continue périodique de $\sqrt{19}$ est $[4,\overline{2,1,3,1,2,8}]$ (m = 6 et est pair)

La réduite de rang (m − 1) = 5 de $\sqrt{19}$ est $4+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}}=\frac{170}{39}$

La solution minimale est donc $(x_1,y_1)=(170,39)$ qui vérifie bien $170^2-19\cdot 39^2=1$

Les autres solutions sont $(x_2,y_2)=(57799,13260)$, $(x_3,y_3)=(19651490,4508361)$, etc.

• Recherche des solutions de $x^2-17y^2=1$

Le développement en fraction continue périodique de $\sqrt{17}$ est $[4,\overline{8}]$ (m = 1 et est impair)

La réduite de rang (2m − 1) = 1 de $\sqrt{17}$ est $4+\frac{1}{8}=\frac{33}{8}$

La solution minimale est donc $(x_1,y_1)=(33,8)$ qui vérifie bien $33^2-17\cdot 8^2=1$

Les autres solutions sont $(x_2,y_2)=(2177,528)$, $(x_3,y_3)=(143649,34840)$, etc.

• Recherche des solutions de $x^2-29y^2=1$

Le développement en fraction continue périodique de $\sqrt{29}$ est $[5,\overline{2,1,1,2,10}]$ (m = 5 et est impair)

La réduite de rang (2m − 1) = 9 de $\sqrt{29}$ est $5+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{10+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}}}}}}=\frac{9801}{1820}$

La solution minimale est donc $(x_1,y_1)=(9801,1820)$ qui vérifie bien $9801^2-29\cdot 1820^2=1$

Les autres solutions sont $(x_2,y_2)=(192119201,35675640)$, $(x_3,y_3)=(3765920568201,699313893460)$, etc.

On démontre que si $(x_1,y_1)$ est une solution particulière, alors les couples $(x_k,y_k)$ vérifiant

$x_k+y_k\sqrt{n}=(x_1+y_1\sqrt{n}{)}^k$ avec $k=1,3,5,7,\cdots$

sont les solutions générales.

Exemple

Une solution particulière de $x^2-5y^2=-1$ est $(2,1)$.

Les développements :

fournissent les solutions $(38,17)$, $(682,305)$ et $(12238,5473)$ :