Famille sommable

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Introduction

La notion de famille sommable vise à étendre les calculs de sommes au cas d'un nombre infini de termes. Contrairement à la notion de série, on ne suppose pas que les termes sont donnés sous forme d'une suite ordonnée. Il s'agit donc de pouvoir en définir la somme de façon globale, sans préciser l'ordre dans lequel on procède. De ce fait, la sommabilité est une propriété plus exigeante que la convergence de série, et a des propriétés supplémentaires.

La sommabilité donne notamment un cadre utile pour l'étude des séries doubles.

Exemple préliminaire

Soit la suite de terme général $u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ pour n entier strictement positif. On peut répondre de plusieurs façons à la question « quelle est la somme des termes de cette suite ? »

La théorie des séries revient à sommer successivement tous les termes en formant la somme partielle d'ordre N (somme des N premiers termes) et en passant à la limite. Ici il est plus simple de calculer

U_{2 N} = n = 1 \sum 2 N u_{n} = p = 1 \sum N \frac{1}{2 p} - p = 0 \sum N - 1 \frac{1}{2 p + 1} = 2 p = 1 \sum N \frac{1}{2 p} - p = 1 \sum 2 N \frac{1}{p}

Par utilisation de la formule d'Euler on trouve que la suite U_2N tend vers -ln(2), et on trouve la même limite pour la suite $U_{2 N + 1} = U_{2 N} - \frac{1}{2 N + 1}$ . On peut donc affirmer que la série converge et écrire

n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} = - ln 2

Pourtant, en sommant les mêmes termes d'une autre façon, il est possible d'obtenir un résultat distinct : on décide de sommer beaucoup plus vite les termes pairs que les impairs

V_{N} = p = 1 \sum 2 N \frac{1}{2 p} - p = 0 \sum N - 1 \frac{1}{2 p + 1} = p = 1 \sum 2 N \frac{1}{2 p} + p = 1 \sum N \frac{1}{2 p} - p = 1 \sum 2 N \frac{1}{p} = \frac{1}{2} ln 2 + o (1)

Lorsque N tend vers l'infini, U_N et V_N n'ont pas la même limite, alors que ces limites sont obtenues en sommant une et une seule fois chacun des termes de la suite ! Pour une telle suite l'ordre dans lequel on procède pour effectuer la sommation change le résultat. Pour une étude plus complète de cette situation voir l'article Théorème de Riemann pour les séries semi-convergentes.

On souhaite introduire une définition de la somme qui exclue ce genre de situation, et qui assure que la sommation donne le même résultat quel que soit l'ordre choisi.

Définition d'une famille sommable de réels ou complexes

On ne sait a priori définir que la somme d'un nombre fini de nombres réels ou complexes. On se donne un ensemble $I$ et une famille $(u_{i})_{i \in I}$ de nombres réels. On dit que la famille $(u_{i})_{i \in I}$ est sommable s'il existe un réel $A$ tel que:

\forall ε > 0, \exists J_{0} \subset I, J_{0} fini, \forall J \subset I, J fini, J_{0} \subset J \Rightarrow ∣ i \in J \sum u_{i} - A ∣ \leq ε

Le réel A est unique et est appelé somme de la famille $u_{i}$ . On le note en général $\sum_{i \in I} u_{i}$ .

Bien sûr si l'ensemble I lui-même est fini, la famille est automatiquement sommable, sa somme ayant la valeur accoutumée. De même si la famille admet seulement un nombre fini de valeurs non nulles (famille presque nulle), elle est sommable et on retrouve la valeur usuelle de la somme.

La sommabilité possède des propriétés de linéarité. La somme de deux familles sommables est encore une famille sommable, et les sommes s'ajoutent. Le produit d'une famille sommable par un réel λ est une famille sommable, et la somme est multipliée par λ.

Remarque

Cette écriture ressemble à une sorte de passage à la limite sur des ensembles finis de plus en plus gros. De fait, on peut effectivement dire qu'il s'agit d'une limite selon une base de filtre.

Cas des réels positifs

Dans le cas où les $(u_{i})_{i \in I}$ sont des réels positifs, on a une caractérisation assez commode de la sommabilité, provenant de ce que, pour les ensembes finis, la valeur de la somme est croissante pour l'inclusion.

Ainsi la famille est sommable si et seulement si l'ensemble

E = {i \in J \sum u_{i}, J \subset I, J fini}

est majoré. La somme de la famille $(u_{i})_{i \in I}$ est alors la borne supérieure dans $R$ de l'ensemble $E$ .

On peut alors utiliser des résultats de comparaison : si deux familles de réels positifs $(u_{i}) i \in I, (v i)_{i \in I}$ admettent le même ensemble d'indexation et vérifient pour tout i, $u_{i} \leq v_{i}$ et si la famille des v_i est sommable, celle des u_i aussi.