Flambage

Le flambage ou flambement est un phénomène d'instabilité d'une structure, qui soumise à un effort normal de compression, a tendance à fléchir et se déformer dans une direction perpendiculaire à l'axe de compression (passage d'un état de compression à un état de flexion).

Le terme flambement est plutôt utilisé en mécanique de la structure.

Exemple d'une règle plate:

• Si les extrémités de la règle sont tenues et tirées, la rupture de la règle se produit quand les contraintes de traction deviennent supérieures à la résistance mécanique en traction du plastique.
• En revanche, si les extrémités de la règle sont tenues et comprimées dans le sens de la longueur, la règle va se plier et se briser avec un effort de compression bien plus faible que celui nécessaire à la rupture en traction.

Ce phénomène est appelé flambage.

En résistance des matériaux (RDM), le flambage est un phénomène d'instabilité élastique mis en évidence lorsqu'une poutre est comprimée, il se développe un moment de flexion parasite amplifié par les déformations et déplacements de la poutre chargée.

Ce phénomène n'est pas mis en évidence par le modèle RDM classique ou théorie des poutres car ce modèle considère que les efforts de calcul s'appliquent sur la structure non déformée (hypothèses de linéarisation externe et des petits déplacements de la mécanique des solides et de la RDM) et non sur la structure déjà en charge et déformée (théorie du second ordre).

Le flambage se produit d'autant plus facilement que la poutre est longue et de faible section. Le flambage dépend aussi du type de liaisons des extrémités de la poutre (les conditions d'appui).

Même si le terme poutre est employé ici, l'hypothèse RDM des petits déplacements doit être abandonnée pour que le modèle soit plus réaliste. Le modèle RDM doit être complété avec les hypothèses supplémentaires que les déformations restent petites mais que les déplacements peuvent être grands, cela permet de prendre en compte les phénomènes du second ordre négligés dans le modèle RDM.

Ce modèle RDM complété n'est plus linéaire, la résolution se fait par itérations successives jusqu'à convergence éventuelle du résultat. Ce modèle met en évidence des instabilités dont la charge critique d'Euler est un exemple simple.

La démonstration de la formule d'Euler est relativement complexe et sort du cadre de cet article. Comme cette formule ne fait intervenir que des termes issus du modèle RDM élastique linéaire (module de Young et géométrie de la poutre), on dit alors que le flambement est un phénomène d'instabilité élastique. En général le flambement élastique n'est que le début d'un comportement non linéaire bien plus complexe qui une fois amorcé conduit à des déformations plastiques dans le matériau puis à la ruine de la poutre.

Pour une poutre d'inertie constante soumise à un effort normal de compression simple, la charge critique de flambage théorique est donnée par la formule d'Euler:

où

• E est le module de Young du matériau ;
• I est le moment quadratique de la poutre ;
• l_k est la longueur de flambement de la poutre.

Cette charge critique est évidemment limitée par la résistance en section de la poutre (à partir d'un certain élancement, la ruine est atteinte avant l'apparition du flambage). Dans le cas réel, la ruine par flambage est atteinte encore plus précocement en raison notamment des imperfections de production et de mise en œuvre (voir ci-dessous).

Le facteur l_k représente une longueur équivalente à celle d'une poutre rotulée-rotulée. Il s'agit de la distance séparant deux points d'inflexion de la déformée de la poutre. Ainsi,

• pour une poutre rotulée aux deux bouts, $l_k=1\times L$, la longueur de la poutre ;
• pour une poutre encastrée - encastrée mobile (selon l'axe vertical), $l_k=0,5\times L$ ;
• pour une poutre encastrée-rotulée, $l_k=0,7\times L$ ;
• pour une poutre encastrée-libre, $l_k=2\times L$.

Attention : Le flambage est un phénomène d'instabilité élastique lié au module de Young et indépendant de la limite élastique, utiliser un acier de limite élastique supérieure pour diminuer le flambage est une erreur grave.

Ce problème est sérieusement considéré dans les cas du dimensionnement de poteaux ou de piliers et de bielles en mécanique, éléments nécessairement de grande longueur et soumis à la compression.

En pratique cependant, la formule d'Euler n'est pas directement utilisée pour dimensionner une poutre. Elle intervient toutefois sous une autre forme car optimiser le dimensionnement d'un poteau c'est choisir une section pour laquelle la résistance à la compression (liée à la limite élastique) sera sensiblement égale à la résistance au flambement (charge critique).

On définit habituellement un paramètre géométrique, λ, appelé coefficient d'élancement :

où ρ est le rayon de giration de la poutre et S la section de cette poutre.

On peut alors définir un coefficient d'élancement critique, λ_c, qui ne dépend que des propriétés du matériau :

où σ_e est la limite élastique du matériau ;

On peut alors déterminer la charge critique F_c applicable sur une poutre en comparant sa valeur d'élancement λ à la valeur de λ_c.

• Si $\lambda \le 20$, la poutre est en compression simple :

• Si $20<\lambda \le {\lambda }_c$, on utilise alors la formule expérimentale de Rankine :

• Si $\lambda >{\lambda }_c$, on utilise alors la formule d'Euler, qui peut se réecrire sous la forme :

Ces considérations ne tiennent pas compte des imperfections inhérentes à la production des barres ; celles-ci ont pour conséquence de mener à un flambage précoce de la barre, sous-estimé par la formule d'Euler. Dans la pratique, on introduit un facteur de flambage χ servant à réduire la résistance en section de la barre (compression simple)

pour arriver à sa résistance globale en compression

$F_c=\chi \cdot F_R=\chi \cdot {\sigma }_e\cdot S$.

Ce facteur de flambage, issu de résultats expérimentaux, est généralement défini comme suit :

où λ_rel est le coefficient d'élancement relatif (sans dimension)

et Φ est un facteur défini selon le matériau utilisé et le type d'imperfections. À titre d'exemple, dans la norme suisse pour l'acier ce facteur s'écrit :

Dans cette formule, α est le facteur d'imperfection du matériau ; il dépend de la direction de flambage considérée et du procédé de fabrication.

La formule d'Euler n'est pas applicable aux poteaux et butons en béton armé, en raison de la fissuration du béton l'inertie varie sur la longueur ce qui conduit à des calculs complexes. Un des pionniers de ce domaine de calculs fut Pierre Faessel qui établit des abaques de calculs.

En géologie, on trouve aussi le phénomène de flambage, mais à une échelle bien plus grande qu'en RDM. La compression d'une masse continentale importante provoque à l'échelle locale ou régionale la formation d'une chaine de montagne. À l'échelle d'un continent entier, le flambage provoque des séries de "creux" et de "bosses" secondaires.

Par exemple, la collision alpine, en Europe occidentale, est responsable de la formation d'autres reliefs secondaires dont l'importance diminue à mesure que l'on s'éloigne des Alpes : Massif central ("bosse")et Limagne ("creux"), la Sologne (creux), le Massif Armoricain et les Alpes Mancelles (Bosse, bien que liée aussi à l'ouverture de l'Atlantique), la Mer du Nord (creux, dont l'autre facteur explicatif est aussi l'ouverture de l'Atlantique), le Pays de Caux et le Pays de Bray (bosses), les marais et polders de la région de Calais et du Nord de la Picardie (creux), le Boulonnais, l'Artois les Ardennes et l'Eifel (Bosses), la Flandre (creux).

On pourrait décrire de la même façon le contrecoup himalayen : plateaux de Tibet (creux), Altaï (bosse), lac Baïkal (creux).