Dans la théorie de la récursivité, la fonction d'Ackermann (aussi appelée fonction d'Ackermann-Péter), est un exemple simple de fonction récursive non récursive primitive, trouvée en 1926 par Wilhelm Ackermann. Elle est souvent présentée sous la forme qu'en a proposé la mathématicienne Rózsa Péter, comme une fonction à deux paramètres entiers naturels comme arguments et qui retourne un entier naturel comme valeur, noté en général A(n, m).
Dans les années 1920, Wilhelm Ackermann et Gabriel Sudan, alors étudiants sous la direction de David Hilbert, étudiaient les fondements de la calculabilité. Sudan est le premier à donner un exemple de fonction récursive mais non récursive primitive, appelée alors fonction de Sudan. Peu après et indépendamment, en 1928, Ackermann a publié son propre exemple de fonction récursive mais non récursive primitive. À l'origine, Ackermann considéra une fonction A (m, n, p) dépendant de trois variables, et consistant à calculer la puissance itérée p fois de m par n, c'est-à-dire m → n → p pour utiliser la notation de Conway.
Ackermann démontra que sa fonction A était bien une fonction récursive, i.e. une fonction qu'un ordinateur idéalisé peut calculer. Dans Sur l'infini, David Hilbert conjectura que la fonction d'Ackermann n'était pas primitivement récursive. Cette conjecture fut établie par Ackermann lui-même dans son article Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen. Sur l'infini était l'article le plus important de Hilbert sur les bases des mathématiques, servant de cœur au programme de Hilbert pour fixer la base des nombres transfinis.
Une fonction semblable de seulement deux variables fut donnée plus tard par Rózsa Péter et Raphael Robinson, connue aujourd'hui sous le nom de fonction d'Ackermann.
La fonction d'Ackermann est définie récursivement comme suit :
Autrement dit :
Ackermann a lui-même initialement donné cette définition :
Elle satisfait aux égalités suivantes :
| m\n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | n + 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | n + 2 |
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 2n + 3 |
| 3 | 5 | 13 | 29 | 61 | 125 | 2 − 3 |
| 4 | 13 | 65533 | 2 − 3 | A(3, 2 − 3) | A(3, A(4, 3)) | 2 − 3 (n + 3 termes) |
| 5 | 65533 | A(4, 65533) | A(4, A(5, 1)) | A(4, A(5, 2)) | A(4, A(5, 3)) |
|---|---|---|---|---|---|
| 6 | A(5, 1) | A(5, A(5, 1)) | A(5, A(6, 1)) | A(5, A(6, 2)) | A(5, A(6, 3)) |
La fonction d'Ackermann croît extrêmement rapidement; A(4,2) a déjà 19829 chiffres, et représente bien plus que le nombre d'atomes estimé dans l'univers. Cette extrême croissance peut être exploitée pour montrer que la fonction f définie par f(n) = A(n, n) croît plus rapidement que n'importe quelle fonction récursive primitive et ainsi que A n'est pas primitive récursive.
Cette fonction est néanmoins définissable par récursion primitive d'ordre supérieur, un schéma de récursion proposé par le système T de Gödel et ses extensions.
La croissance exponentielle des problèmes liés aux grands systèmes informatiques est en relation également avec la thèse de Church.
Intuitivement, la fonction d'Ackermann génère progressivement une multiplication par deux (additions réitérées), une exponentiation de base 2 (multiplications réitérées), une exponentiation réitérée, une réitération de cette opération, et ainsi de suite. Elle peut être exprimée en utilisant la notation des puissances itérées de Knuth :
A(1, n) = 2 + (n + 3) - 3
A(2, n) = 2 × (n + 3) - 3
A(3, n) = 2 ↑ (n + 3) - 3
A(4, n) = 2 ↑ (2 ↑ (2 ↑ (... ↑2))) - 3 (n + 3 deux)
= 2↑↑(n + 3) - 3
A(5, n) = 2↑↑↑(n + 3) - 3 etc.
On montre assez facilement par récurrence que:
A(u, v) = 2↑(v + 3) - 3
Puisque la fonction f définie par f(n) = A(n,n) considérée précédemment croît réellement très vite, sa réciproque croît vraiment très lentement. Il est intéressant de remarquer, que la réciproque apparaît dans l'analyse de l'exécution de certains algorithmes, tels l'Union-Find, qui permet de savoir si deux éléments se trouvent être dans un même ensemble.
en pseudo code (type C, C++, Java) :
function ackermann(n, m) if n = 0 return m + 1 else if m = 0 return ackermann(n - 1, 1) else return ackermann(n - 1, ackermann(n, m - 1))
en Caml :
let rec ackermann = function | (0, n) -> n + 1 | (m, 0) -> ackermann (m - 1, 1) | (m, n) -> ackermann (m - 1, ackermann (m, n - 1))
en Prolog :
ackermann(0,N,Resultat):- Resultat is N+1. ackermann(M,0,Resultat):- M>0, M' is M-1, ackermann(M',1,Resultat). ackermann(M,N,Resultat):- M>0, M' is M-1, N>0, N' is N-1, ackermann(M,N',Resultat'), ackermann(M',Resultat',Resultat).
Les algorithmes ci-dessus ne prennent pas en compte le fait que la fonction d'Ackermann croit extrêmement rapidement et dépasse rapidement la capacité de stockage des "int 32 bits", "int 64 bits" ou même "int 128 bits". Seules les implémentations permettant un calcul en précision infini permettront d'espérer un calcul effectif de cette fonction.
Dans la programmation des grands systèmes, mais aussi entre autres dans le benchmarking, des algorithmes basés sur la fonction d'Ackermann permettent d'optimiser les résultats.
Cette fonction prend toute son utilité dans le langage de programmation Haskell, langage très efficace dans le traitement des fonctions récursives.