Formules de mécanique des fluides

Loi fondamentale de la statique des fluides

Pour un fluide au repos soumis à un champ de forces volumique $\vec{F}=\rho \vec{f}$, où ρ désigne la masse volumique, le champ de pression $p(x,y,z,t)$ vérifie la relation

Exemple: Lorsque le fluide est soumis uniquement aux forces de gravité $\left(\vec{F}=\rho \vec{g}\right)$, on a la relation

soit, sachant que le champ de gravité est dirigé dans la direction verticale, (supposant le fluide incompressible ⇒ rho est constant )

Poussée d'Archimède

Tout corps plongé dans un fluide est soumis à une poussée de bas en haut égale au poids du volume du fluide déplacé.

Soit un corps de masse volumique $\rho$ et de volume $V$ plongé dans un fluide de masse volumique ρ_f. La poussée d'Archimède que le fluide exerce sur ce corps est la force

Le poids apparent de ce corps dans le fluide est la somme de son poids et de la poussée d'Archimède, soit

Remarque: Lorsque la masse volumique du corps est inférieure à celle du fluide, le poids apparent est négatif. Voilà pourquoi une planche de bois (masse volumique < 1) remonte à la surface de l'eau.

Equations d'Euler pour un écoulement incompressible

Soit l'écoulement incompressible d'un fluide parfait, c'est-à-dire sans viscosité, dans un champ de force massique $\vec{f}$. En première approximation, sa masse volumique $\rho$ est constante. En un point quelconque du fluide $M(x,y,z)$ et à un instant quelconque $t$, les champs de pression $p(x,y,z,t)$ et de vitesse $\vec{v}(x,y,z,t)$ vérifient les relations:

En coordonnées cartésiennes $(x_1,x_2,x_3)$, ces relations s'écrivent

Ecoulement potentiel - Potentiel des vitesses

Un écoulement de fluide selon les normes de température et de pression est dit potentiel lorsque

Dans ce cas, il existe une fonction potentiel des vitesses $\varphi$ qui vérifie

Relations de Bernoulli

Ecoulement stationnaire et potentiel

en tout point de l'ecoulement.

aucun échange avec l'extérieur se qui fait que au début d'une conduite forcé nous avons de la hauteur pas de pression et une vitesse proche de 0 ensuite nous avons plus de hauteur toujours pas de pression mais de la vitesse puis enfin il nous reste que de la pression Le théorème nous explique le phénomène de changement d'énergie de hauteur en une énergie de pression dans un milieu isolé

Energie de hauteur Eh=m.g.h

Energie de pression Ep=P.V

Energie cinétique Ec=1/2m.V²

Ecoulement stationnaire et non-potentiel

le long d'une ligne de courant.

Ecoulement instationnaire et potentiel

en tout point de l'ecoulement.

Equations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible

Soit un écoulement incompressible de fluide visqueux dans un champ de force massique $\vec{f}$. La viscosité cinématique du fluide est notée ν (unité SI: m / s). En un point quelconque du fluide $M(x,y,z)$ et à un instant quelconque $t$, les champs de pression $p(x,y,z,t)$ et de vitesse $\vec{v}(x,y,z,t)$ vérifient les relations:

En coordonnées cartésiennes $(x_1,x_2,x_3)$, ces relations s'écrivent