Fraction continue et approximation diophantienne

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Introduction

Le mathématicien indien Âryabhata fait usage d'approximations diophantiennes construites à l'aide de fractions continues dès le Ve siècle, pour extraire des racines carrées.

En mathématiques, la réduite d'une fraction continue d'indice n, c'est-à-dire la fraction limitée à n étapes, est une approximation diophantienne de la valeur initiale. Plus précisément, la suite des réduites de rangs pairs approxime par défaut le réel et celle des rangs impairs par excès. Réciproquement, si l'on considère une suite (a_n) telle que a₀ est un entier et a_n un entier strictement positif si n est supérieur à zéro, la suite des réduites de la fraction continue admettant les a_n comme coefficients converge vers une limite finie x (qui est un réel irrationnel si, et seulement si, la suite est infinie) dont le développement en fraction continue (qui est unique dans ce cas où x n'est pas rationnel) est la fraction continue de coefficients a_n.

Les fractions réduites h_n / k_n fournissent en un certain sens les meilleures approximations rationnelles d'un nombre réel : la réduite d'indice n est une approximation située à une distance de x inférieure à 1 / k_n, et, si une fraction p / q est une approximation située à une distance de x inférieure à 1 / 2.q alors p / q est une réduite de x. Ce résultat porte le nom de théorème de meilleure approximation.

Ces résultats ne sont pas sans conséquence. Les fractions continues sont utilisées pour approcher des nombres irrationnels comme des racines carrées ou π. Cette propriété permet de résoudre certaines équations diophantiennes comme celle de Pell-Fermat. Elle offre de plus une condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit rationnel, à l'origine de la première démonstration de l'irrationalité de e, la base du logarithme népérien. Elle permet d'aller plus loin et ce sont les propriétés des approximations diophantiennes obtenues à l'aide de fractions continues qui permettent de construire les premiers nombres démontrés transcendants, puis de montrer que e et π sont transcendants.

Préambule

Généralités

Les exemples les plus simples se trouvent dans l'article Fraction continue, et concernent les rationnels. Un nombre rationnel x se représente de la manière suivante :

x = a_{0} + \frac{1}{a _{1} + \frac{1}{a _{2} + \frac{1}{a _{3} + \frac{1}{\dots + \frac{1}{a _{n}}}}}} = [a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}]

Les deux notations, avec des barres de fractions ou des crochets signifient la même chose. Si p est un entier inférieur à n, le terme a_p, appelé coefficient d'indice p, désigne un entier strictement positif sauf peut être a₀ qui est un entier quelconque. La fraction qui s'arrête au terme a_p est la réduite d'indice p et si 1/ x_p+1 est le complément à ajouter dans l'expression à a_p pour obtenir la valeur exacte de x, alors x_p+1 est appelé quotient complet d'indice p + 1, ce qui se traduit par l'égalité :

x = [a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{p}, x_{p + 1}]

Ce concept ne se limite pas aux rationnels. Si x est un nombre irrationnel, la suite des coefficients est infinie et celle des réduites est alternée et converge vers x. Pour toute suite d'entiers a_n strictement positifs, à l'exception éventuelle de a₀ qui peut être négatif ou nul, la suite des réduites construites à l'aide des coefficients a_n converge vers un nombre réel r dont la fraction continue est constituée des coefficients a_n. Un exemple simple de cette nature est proposé dans l'article fraction continue d'un nombre quadratique. Un nombre quadratique est une solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels. La fraction continue d'un nombre x est périodique à partir d'un certain rang, si, et seulement si, x est quadratique.

Quelques résultats sont bien utiles, ils sont démontrés dans l'article détaillé. Si h_n / k_n désigne la réduite d'ordre n, on dispose des relations de récurrence suivantes :

h_{n + 1} = a_{n + 2} h_{n + 1} + h_{n}, k_{n + 1} = a_{n + 2} k_{n + 1} + k_{n} et [a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}, x_{n}] = \frac{x _{n} h _{n - 1} + h _{n - 2}}{x _{n} k _{n - 1} + k _{n - 2}}

Ce qui montre que les numérateurs et les dénominateurs des réduites forment deux suites qui tendent vers l'infini. On dispose encore résultats suivants :

k_{n} h_{n - 1} - k_{n - 1} h_{n} = (- 1)^{n}, x - \frac{h _{n}}{k _{n}} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{k _{n} ( k _{n - 1} + x _{n + 1} k _{n} )}, \frac{h _{n}}{k _{n}} - \frac{h _{n - 1}}{k _{n - 1}} = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{k _{n} k _{n - 1}}

Exemple, la base du logarithme népérien

Leonhard Euler utilise les propriétés des fractions continues pour montrer que e est irrationnel.

Leonhard Euler cherche l'expression en fraction continue du nombre e, base du logarithme népérien. Pour cela, il commence par établir l'expression de la fonction exponentielle, sous forme de fraction continue :

exp (x) = 1 + x + \frac{\frac{1}{2} x ^{2} ∣}{∣ 1 - \frac{1}{3} x} + \frac{\frac{1}{36} x ^{2} ∣}{∣ 1 - \frac{1}{15} x} + \dots + \frac{α _{n} ( x ) ∣}{∣ β _{n} ( x )} + \dots α_{n} (x) = \frac{x ^{2}}{4 ( 2 n - 3 ) ^{2}} β_{n} (x) = 1 - \frac{x}{( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )}

Une expression de cette nature est appelée approximant de Padé. La précédente permet d'exprimer e sous forme de fraction continue :

e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, \dots, 1, 2 p, 1, \dots] = [2, \overline{1, 2 p, 1}] p \in N - {0}

La barre utilisée ici est une notation fréquente. Elle signifie une répétition à l'infini de la suite des entiers couverte par la barre. Le premier intérêt que le peut y trouver est le fait d'obtenir une valeur approchée de e. La réduite d'ordre 2 est égal à 2,75 et celle d'ordre 10 propose 7 chiffres significatifs. Cependant, une approche par la série entière propose un résultat analogue avec moins d'effort. Euler remarque que l'expression en fraction continue de e est infinie, ce qui est une condition nécessaire est suffisante pour montrer que e n'est pas un rationnel, l'objectif de sa démonstration. On peut néanmoins encore trouver des démonstrations plus simples de ce résultat, un exemple est proposé dans l'article e (nombre). Ce résultat permet d'aller un peu plus loin, puisqu'il prouve que e n'est solution d'aucune équation du second degré à coefficients rationnels, car son développement en fraction continue n'est pas périodique. Ce type de démarche ne permet pas d'aller au-delà. De nouvelles idées sont nécessaires, par exemple, pour montrer la transcendance de e.

Malgré ces limitations, les fractions continues qui offrent des suites rationnelles convergeant vers e sont riches en informations sur la nature arithmétique de la limite. La suite de l'article montre, par exemple que si t est rationnel, alors e ne l'est pas. La démarche, à l'origine de la preuve, permet aussi d'établir l'irrationalité de π .

Fragments d'histoire

L'idée d'approximer un nombre à l'aide d'une fraction continue remonte à l'origine du concept, aux Indes du V siècle. Avec la résolution de l'identité de Bézout, c'est la première motivation qui pousse à l'usage d'une telle notion. Âryabhata l'utilise pour les deux usages et particulièrement pour extraire des racines carrées.

La propriété d'approximation des fractions continues est retrouvée accidentellement sur la racine de 13 par Rafael Bombelli puis généralisée par Pietro Antonio Cataldi à toutes les racines carrées. William Brouncker utilise cette méthode pour obtenir une approximation de π exacte à 10 décimales. Leonhard Euler développe l'aspect théorique de la méthode. Il montre que tout nombre réel admet un unique développement en fraction continue simple et qu'il est irrationnel si, et seulement si cette fraction continue est de longueur infinie. Il invente une méthode, maintenant connue sous le nom d'approximant de Padé pour déterminer celui de e, la base du logarithme népérien, ce qui est la première démonstration de son irrationalité. Johann Heinrich Lambert pousse plus loin l'exploration et montre que π n'est pas non plus rationnel.

L'usage d'une fraction continue comme approximation diophantienne pour étudier la nature arithmétique d'un nombre est établi. Le XIX siècle est celui d'une meilleure compréhension des nombres transcendants. Joseph Liouville en utilise une pour exhiber le premier nombre démontré transcendant. Si le savoir décrit dans cet article s'arrête là, l'histoire, elle, continue. Parmi les multiples progrès, on peut citer Charles Hermite qui établit la transcendance de e en 1873. Puis, à l'aide d'une méthode analogue, Ferdinand von Lindemann montre celle de π.

Théorème de meilleure approximation rationnelle

A certains égards, les réduites forment les meilleures approximations diophantiennes, et réciproquement une bonne approximation rationnelle est nécessairement une réduite de la fraction continue :

Pour tout entier n la majoration (1) est vérifiée. Sur deux réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (2) :

(1) x - \frac{h _{n}}{k _{n}} < \frac{1}{k _{n}^{2}}, (2) x - \frac{h _{n}}{k _{n}} < \frac{1}{2 k _{n}^{2}}

C'est en ce sens que l'approximation diophantienne est bonne. Une approximation décimale possède une précision de l'ordre de 1 / 2.q et dans le cas général, il n'est guère possible de faire mieux avec les représentations décimales. Une réduite approche la valeur x non pas en fonction de l'inverse du dénominateur, mais de son carré. Si l'on parle aussi de meilleure approximation, c'est parce-qu'il existe une réciproque au résultat précédent, appelée théorème de meilleure approximation rationnelle. Ici, n désigne un entier strictement positif.

Soient h et k deux entiers tels que 0 < k < k_n+1. La majoration suivante est vérifiée. De plus l'égalité n'a lieu que si k (resp. h*) est égal à* k_n (resp. h_n) :

∣ k x - h ∣ \geq ∣ k_{n} x - h_{n} ∣

Dire que h / k approche bien x, revient à dire que k.x - h est petit. Le théorème indique que h / k n'approche jamais mieux x que la réduite d'indice n, si k est strictement plus petit que le numérateur de la réduite d'ordre n + 1 et si h / k approche aussi bien x que la réduite d'indice n, c'est qu'il y a égalité. Le terme mieux approcher est pris ici dans un sens particulier, on dit ici que la fraction 1/1 approche mieux 1,15 que, par exemple 11/10 car |1x1,15 - 1| est plus petit que 1/5, alors que |10x1,15 - 11| est plus grand. Pourtant 1/1 est plus loin de 1,15 que 11/10. La qualité de l'approximation est fonction de la valeur du dénominateur.

Ce théorème possède le corolaire suivant, permettant de déduire assurément qu'une fraction est une réduite. Il est utilisé pour l'étude des fractions continues périodiques (cf Fraction continue d'un nombre quadratique).

Si h et k sont deux entiers qui vérifient la majoration suivante, la fraction h / k est une réduite de x.

x - \frac{h}{k} < \frac{1}{2 k ^{2}}

Ces différents résultats permettent de caractériser un nombre irrationnel. On sait en effet que seuls les irrationnels possèdent une infinité de réduites, et donc une infinité d'approximations diophantiennes dont la précision dépasse l'inverse du double du carré du dénominateur :

Un nombre x réel est irrationnel, si et seulement si, pour tout entier positif N il existe une fraction p / q approximant x avec une précision meilleure que 1 / 2q et tel que q soit supérieur à N.

Ainsi, un irrationnel se caractérise par le fait qu'il s'approche mieux qu'un rationnel par une approximation diophantienne. D'autres théorèmes sont de même nature. Celui de Liouville est une forme de réciproque généralisée du résultat précédent, indiquant que plus le degré du polynôme minimal d'un nombre algébrique est faible, moins bonne sera l'approximation diophantienne. Plus un nombre algébrique est irrationnel dans le sens où son polynôme minimal est élevé, plus on peut espérer l'approcher précisément par un rationnel. Les meilleurs candidats étant certains nombres transcendants.

Le théorème d'Hurwitz indique une limite basse de la qualité des approximations diophantiennes de tous les irrationnels. Il indique que si x est un nombre irrationnel, il existe une infinité de fraction a / b où a et b sont des nombres entiers premiers entre eux tel que :

x - \frac{a}{b} \leq \frac{1}{5 b ^{2}}

La valeur √5 est la plus élevée satisfaisant la majoration précédente. Au-delà le nombre d'or n'admet plus une infinité d'approximations satisfaisant le critère. En ce sens, le nombre d'or est l'irrationnel qui s'approxime le plus mal par des fractions. Etrangement, cet argument est utilisé pour parler du nombre d'or comme le plus irrationnel de tous les irrationnels.

Irrationalité

Résultat de Lambert

Johann Heinrich Lambert démontre que si t est un rationnel non nul, alors tan (t) et exp(t) sont irrationnels.

Lambert est un précurseur dans son usage des approximations diophantiennes construites à l'aide de fractions continues, ce qui lui permet de montrer l'irrationalité de π. Il n'utilise pas directement la fraction continue de ce nombre, on ne dispose alors pas d'une expression comme celle d'Euler pour la base du logarithme. Si la théorie garantie l'existence d'une fraction continue égale à π, la difficulté réside dans le fait qu'il n'existe pas alors de méthode connue pour montrer que ce développement est infini.

Lambert établit tout d'abord une expression de la fonction tangente sous forme de fraction continue. Pour cela, il applique l'algorithme dit des divisions successives (cf l'article Approximant de Padé). Le problème est que ce type de démarche génère une expression appelée fraction continue généralisée, ce sont des développements d'un nombre réel x de la forme suivante, qui imposent d'autres notations :

x = a_{0} + \frac{b _{1}}{a _{1} + \frac{b _{2}}{a _{2} + \frac{b _{3}}{a _{3} + \dots}}} = a_{0} + \frac{b _{1} ∣}{∣ a _{1}} + \frac{b _{2} ∣}{∣ a _{2}} + \frac{b _{3} ∣}{∣ a _{3}} + \dots

Celles utilisées ici, sont dites de Pringsheim. Les résultats décrits en première partie de cet article ne s'appliquent plus. Et, à la différence des fractions continues étudiées jusqu'ici, dites simples par opposition, le fait d'autoriser des valeurs quelconques à a_n et b_n pose le problème de la convergence, que Lambert ne d'ailleurs traite pas. Il établit un résultat dans le cas où les suites (a_n) et (b_n) sont des entiers non nuls, qui généralise la proposition indiquant qu'une fraction continue simple infinie n'est jamais rationnelle :

Si les suites (a_n) et (b_n), pour n décrivant l'ensemble des entiers positifs, forment deux suites à valeurs dans les entiers non nuls telles que |a_n| > |b_n| + 2 pour tout n et telles que la fraction généralisée qu'elles définissent soit convergente, alors la limite est irrationnelle.

Base du logarithme népérien

Le développement en fraction continue déjà utilisée pour la fonction exponentielle n'est pas idéale, pour appliquer le résultat de Lambert. Il existe heureusement une infinité d'expressions sous forme de fraction continue d'une fonction analytique, il utilise la forme suivante, trouvée par Lagrange. La construction de cette fraction continue est disponible dans l'article Approximant de Padé de la fonction exponentielle.

exp (\frac{m}{n}) = 1 + \frac{2 m ∣}{∣ m - n} + \frac{m ^{2} ∣}{∣ 3 n} + \frac{m ^{2} ∣}{∣ 5 n} + \frac{m ^{2} ∣}{∣ 7 n} + \dots

Il est aisé d'extraire un quotient complet satisfaisant les hypothèses de la proposition de Lambert, si m est différent de 0. Or, si un quotient complet est irrationnel, la fraction continue l'est aussi. Ce qui lui permet d'énoncer le résultat suivant :

L'image par la fonction exponentielle d'un nombre rationnel différent de 0 est irrationnelle.

Nombre de Pythagore

Pour π, l'affaire est un peu plus délicate. Il existe bien des fractions généralisées qui approximent ce nombre, James Gregory a montré par exemple que :

\frac{π}{4} = \frac{1 ∣}{∣ 1} + \frac{1 ^{2} ∣}{∣ 2} + \frac{3 ^{2} ∣}{∣ 2} + \frac{5 ^{2} ∣}{∣ 2} + \dots

Cette fraction est néanmoins impropre pour l'application du résultat précédent. Lambert prend alors le problème de manière inverse, et considère une fraction continue de la fonction tangente (cette fraction continue est étudiée dans l'article Approximant de Padé).

tan (\frac{m}{n}) = \frac{m ∣}{∣ n} - \frac{m ^{2} ∣}{∣ 3 n} - \frac{m ^{2} ∣}{∣ 5 n} - \frac{m ^{2} ∣}{∣ 7 n} + \dots

Le même raisonnement que pour la fonction exponentielle s'applique et :

L'image par la fonction tangente d'un nombre rationnel différent de 0 est irrationnelle.

Or l'image par la fonction tangente de π/4 est égal à 1, un nombre rationnel et π/4 ne peut être rationnel.

Autres applications

Equation de Pell-Fermat

L'équation de Pell-Fermat est l'équation suivante, où d désigne un entier positif non carré parfait.

x^{2} - d y^{2} = \pm 1

A tout couple de solution (a, b) de cette équation, correspond la fraction a / b, qui se trouve être une approximation de la racine de d. Cette approximation est à une distance inférieure à 1/2.b de la racine, c'est donc une réduite de la fraction continue. Cette propriété peut être utilisée pour élucider la structure de l'ensemble des solutions. Elle offre aussi un algorithme d'extraction de racine carrée dont le nombre de décimales exactes double à chaque étape.

Automate de Huygens

Une application curieuse provient de l'horlogerie. Christian Huygens souhaite réaliser un automate planétaire, c'est-à-dire un système à manivelle représentant le mouvement des différentes planètes du système solaire. Sachant que le rapport entre une année terrestre et celle de Saturne est approximativement égal à 2 640 858/77 708 431, comment choisir le nombre de dents pour les différents engrenages qui composent la machine ? L'approximation diophantienne que représente la fraction continue lui offre une solution : « Or, lorsqu’on néglige à partir d’une fraction quelconque les derniers termes de la série et celles qui la suivent, et qu’on réduit les autres plus le nombre entier à un commun dénominateur, le rapport de ce dernier au numérateur sera voisin de celui du plus petit nombre donné au plus grand; et la différence sera si faible qu’il serait impossible d’obtenir un meilleur accord avec des nombres plus petits. »

Transcendance

Joseph Liouville utilise des approximations diophantiennes pour construire explicitement un nombre transcendant.

Le fait qu'il n'existe qu'un nombre fini de fractions p / q à une distance inférieure à 1/2.q du rationnel signifie qu'un nombre rationnel s'approche « mal » par des fractions. Cette idée se généralise aux solutions d'une équation polynomiale de degré n. Soit α un nombre réel solution de l'équation f(x) = 0, où f désigne un polynôme de degré n à coefficients rationnels. Le théorème de Liouville donne une limite à la qualité de l'approximation de α par un nombre rationnel p / q ; précisément, il indique qu'il existe une constante réelle A telle que pour tout rationnel p/q :

∣ α - \frac{p}{q} ∣ > \frac{A}{q ^{n}}

Ce qui permet de construire une fraction continue de limite x qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients rationnels, c'est-à-dire un nombre transcendant. Liouville l'exprime ainsi : « Il suffira de donner aux quotients incomplets [note : appelés réduites dans cet article] un mode de formation qui les fasse grandir au-delà du terme indiqué, pour obtenir une fraction continue dont la valeur ne pourra satisfaire aucune équation algébrique ... »

Une méthode consiste à construire une suite (a_n) d'entiers strictement positifs et de considérer x le nombre réel ayant la suite (a_n) comme fraction continue. La suite (a_n) est définie en posant l'entier a₀ égal à 1, et par la formule de récurrence :

a_{n + 1} = k_{n}^{n},

où (h_n) et (k_n) désignent encore les suites des numérateurs et dénominateurs (à valeurs positives) des réduites d'indice n du développement de x. Les résultats d'approximation d'un nombre réel par les convergeants de son développement en fraction continue donne alors la majoration :

\forall n \in N x - \frac{h _{n}}{k _{n}} < \frac{1}{k _{n}^{n + 1}} .

Ceci permet de montrer que le nombre x ainsi construit est transcendant grâce au théorème de Liouville.