Groupe sporadique

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Introduction

En mathématiques, un groupe sporadique est l'un des 26 groupes exceptionnels dans la classification des groupes simples finis. Un groupe simple est un groupe G qui ne possède aucun sous-groupe normal à part le sous-groupe trivial réduit à l'élément identité et G lui-même. Le théorème de classification affirme que les groupes simples finis peuvent être regroupés en 18 familles infinies dénombrables, plus 26 exceptions qui ne suivent pas un motif systématique (ou 27, si le groupe de Tits est considéré comme un groupe sporadique).

Le plus petit groupe sporadique possède 7 920 éléments ; le plus grand, le groupe Monstre, environ 8×10.

Liste

Cinq des groupes sporadiques furent découverts par Émile Mathieu dans les années 1860 et les 21 autres entre 1965 et 1975. L'existence de plusieurs de ces groupes fut conjecturée avant leur construction effective. La plupart portent le nom du ou des mathématiciens qui émirent les premiers ces conjectures. L'arrivée de l'ordinateur a été déterminante dans l'identification de ces groupes, dont la liste est la suivante :

Groupes de Mathieu M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄
Groupes de Janko J₁, J₂ (également appelé groupe de Hall-Janko HJ), J₃, J₄
Groupes de Conway Co₁, Co₂, Co₃
Groupes de Fischer F₂₂, F₂₃, F₂₄′
Groupe de Higman-Sims HS
Groupe de McLaughlin McL (noté aussi Mc)
Groupe de Held He
Groupe de Rudvalis Ru
Groupe de Suzuki Suz
Groupe de O'Nan O'N
Groupe de Harada-Norton HN (noté aussi F₅)
Groupe de Lyons Ly
Groupe de Thompson Th (noté aussi F₃)
Groupe Bébé Monstre B (noté aussi F₂)
Groupe Monstre M, ou groupe de Fischer-Griess (noté aussi F₁)

Les représentations sur les corps finis de tous les groupes sporadiques ont été calculées, excepté pour le groupe Monstre.

Organisation

Parias

Sur les 26 groupes sporadiques, 20 sont des sous-groupes ou des quotients de sous-groupes du groupe Monstre. Les six exceptions sont J₁, J₃, J₄, O'N, Ru et Ly. Ces six groupes sont quelquefois dénommés « parias ».

Les 20 groupes restants peuvent être organisés en trois générations.

Groupes de Mathieu

La première génération de groupes sporadiques sont les groupes de Mathieu M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ et M₂₄ sont des groupes de permutation multiplement transitifs. Tous sont des sous-groupes de M₂₄, groupe de permutation sur 24 éléments.

Réseau de Leech

La deuxième génération rassemble tous les quotients de sous-groupes du groupe des automorphismes du réseau de Leech :

Co₁ : quotient du groupe des automorphismes par son centre ;
Co₂ : stabilisateur d'un vecteur de type 2 ;
Co₃ : stabilisateur d'un vecteur de type 3 ;
Suz : groupe des automorphismes préservant une structure complexe (modulo son centre) ;
McL : stabilisateur d'un triangle de type 2-2-3 triangle ;
HS : stabilisateur d'un triangle de type 2-3-3 triangle ;
J₂ : groupe des automorphismes préservant une structure quaternionique (modulo son centre).

Autres sous-groupes du Monstre

La troisième génération est constituée de sous-groupes fortement liés au groupe Monstre M:

B ou F₂ : possède un double recouvrement qui est le centralisateur d'un élément d'ordre 2 dans M ;
Fi₂₄′ : possède un triple recouvrement qui est le centralisateur d'un élément d'ordre 3 dans M (dans la classe de conjugaison 3A) ;
Fi₂₃ : sous-groupe de Fi₂₄′ ;
Fi₂₂ : possède un double recouvrement qui est un sous-groupe de Fi₂₃ ;
Th : Le produit de Th et d'un groupe d'ordre 3 est le centralisateur d'un élément d'ordre 3 dans M (dans la classe de conjugaison 3C) ;
HN : Le produit de HN et d'un groupe d'ordre 5 est le centralisateur d'un élément d'ordre 5 dans M ;
He : Le produit de He et d'un groupe d'ordre 7 est le centralisateur d'un élément d'ordre 7 dans M ;
M : le groupe Monstre lui-même fait partie de cette génération.

Cette série ne se limite pas à cette génération : le produit de M₁₂ et d'un groupe d'ordre 11 est le centralisateur d'un élément d'ordre 11 dans M.

Si on considère le groupe de Tits F₄(2)′ comme un groupe sporadique, il fait également partie de cette génération : il existe un sous-groupe S₄×F₄(2)′ normalisant un sous-groupe 2C de B, donnant naissance à un sous-groupe 2·S₄×F₄(2)′ normalisant un certain sous-groupe Q₈ du Monster. F₄(2)′ est également un sous-groupe de Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄′ et B.

Tableau

Le tableau suivant donne la liste des groupes sporadiques par ordre croissant (suivant suite A001228 de l’OEIS).

Groupe	Ordre	Factorisation	Estimation
M₁₁	7 920	2·3·5·11	≈ 8×10
M₁₂	95 040	2·3·5·11	≈ 1×10
J₁	175 560	2·3·5·7·11·19	≈ 2×10
M₂₂	443 520	2·3·5·7·11	≈ 4×10
J₂ ou HJ	604 800	2·3·5·7	≈ 6×10
M₂₃	10 200 960	2·3·5·7·11·23	≈ 1×10
HS	44 352 000	2·3·5·7·11	≈ 4×10
J₃ ou HJM	50 232 960	2·3·5·17·19	≈ 5×10
M₂₄	244 823 040	2·3·5·7·11·23	≈ 2×10
McL	898 128 000	2·3·5·7·11	≈ 9×10
He	4 030 387 200	2·3·5·7·17	≈ 4×10
Ru	145 926 144 000	2·3·5·7·13·29	≈ 1×10
Suz	448 345 497 600	2·3·5·7·11·13	≈ 4×10
O'N	460 815 505 920	2·3·5·7·11·19·31	≈ 5×10
Co₃	495 766 656 000	2·3·5·7·11·23	≈ 5×10
Co₂	42 305 421 312 000	2·3·5·7·11·23	≈ 4×10
Fi₂₂	64 561 751 654 400	2·3·5·7·11·13	≈ 6×10
F₅ ou HN	273 030 912 000 000	2·3·5·7·11·19	≈ 3×10
Ly	51 765 179 004 000 000	2·3·5·7·11·31·37·67	≈ 5×10
F₃ ou Th	90 745 943 887 872 000	2·3·5·7·13·19·31	≈ 9×10
Fi₂₃	4 089 470 473 293 004 800	2·3·5·7·11·13·17·23	≈ 4×10
Co₁	4 157 776 806 543 360 000	2·3·5·7·11·13·23	≈ 4×10
J₄	86 775 571 046 077 562 880	2·3·5·7·11·23·29·31·37·43	≈ 9×10
Fi₂₄' ou F₃₊	1 255 205 709 190 661 721 292 800	2·3·5·7·11·13·17·23·29	≈ 1×10
F₂ ou B	4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000	2·3·5·7·11·13·17·19·23·31·47	≈ 4×10
F₁ ou M	808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000	2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·41·47·59·71	≈ 8×10