Horst Störmer grandit avec son frère Heinz à Dreieich. Il veut commencer des études d'architecture à l'université polytechnique de Darmstadt après son bac, mais, les délais d'inscription n'ayant pas été respectés, il s'inscrit en génie civil. Il constate qu'il n'est pas doué pour cette matière et change d'université.
À l'Université Johann Wolfgang Goethe de Francfort-sur-le-Main, il manque également la date d'inscription pour les études de physique, et commence à étudier les mathématiques. Il se réoriente l'année suivante en physique. Après le diplôme en 1974 de la chaire Werner Martienssen, avec le professeur Eckardt Hoenig, à l'époque où Gerd Binnig travaille dans l'équipe, il passe par le laboratoire du professeur Hans-Joachim Queisser, à Grenoble. Il travaille ensuite aux Laboratoires Bell à Murray Hill, New Jersey, comme chercheur post-doctoral. Il obtient en 1978 un emploi permanent. En 1983, il est nommé responsable du laboratoire pour les caractéristiques optiques et électroniques des corps solides, puis devient directeur du laboratoire de physique (1992). Il reçoit en 1984 le prix Oliver E. Buckley de la matière condensée décerné par l'American Physical Society.
Il est marié avec Dominique Parchet, rencontrée à Grenoble, et qui travaille aux Nations unies.