Hypocycloïde

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Introduction

Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à centre, qui est une catégorie de courbe cycloïdale.

Étymologie et histoire

Le mot est une extension de cycloïde, inventé en 1599 par Galilée, et a la même étymologie : il vient du grec hupo (sous), kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, « semblable à »).

La courbe elle-même fut étudiée par Albrecht Durer en 1525, Rømer en 1674 (qui la baptisa) et Daniel Bernoulli en 1725.

Définition mathématique

Une hypocycloïde peut être définie par l'équation paramétrique suivante :

x (θ) = (R - r) cos θ + r cos (\frac{R - r}{r} θ) (1)

y (θ) = (R - r) sin θ - r sin (\frac{R - r}{r} θ) (2)

où $R$ est le rayon du cercle de base et $r$ celui du cercle roulant. Avec $q = \frac{R}{r}$ , cette équation peut donc également s'écrire :

x (θ) = r [(q - 1) cos θ + cos (q - 1) θ]

y (θ) = r [(q - 1) sin θ - sin (q - 1) θ]

Définition dans le plan complexe

Il peut être utile de passer en notation complexe, z = x + i**y et on obtient l'équation suivante :

z (θ) = (R - r) e^{i θ} + r e^{- \frac{R - r}{r} i θ} .

Si on souhaite de plus faire intervenir le temps t pour exprimer la vitesse à laquelle est décrite le mouvement, il faut introduire les deux pulsations $ω_{1} = \frac{θ}{t} = \frac{r}{R - r} ω_{2} .$

La coordonnée complexe du centre du petit cercle est simplement $(R - r) e^{i ω_{1} t}$ et celle d'un point du petit cercle par rapport à son centre $r e^{- i ω_{2} t}$ . La somme de ces deux nombres complexes donne alors la coordonnée complexe d'un point du petit cercle par rapport au centre du grand.

Ainsi et plus généralement, on peut définir une hypocycloïde par son équation dans le plan complexe :

$z (t) = r_{1} e^{i ω_{1} t} + r_{2} e^{- i ω_{2} t}$ avec la condition $r_{1} ω_{1} = r_{2} ω_{2} (3)$

En effet la condition r₁ω₁t = r₂ω₂t exprime l'égalité des longueurs des arcs des petit et grand cercles parcourus durant le temps t par le point de frottement et donc indique que le petit cercle ne glisse pas dans sa rotation au sein du grand cercle. De ce fait lorsqu'un point du petit cercle, c'est-à-dire de l'hypocycloïde, entre en contact avec le grand cercle, sa vitesse est nulle ce qui correspond à un point de rebroussement.

Enfin, notons que la définition de l'équation (3) peut être interprétée géométriquement d'une autre manière (propriété de la double génération) en raison de la commutativité de la somme de deux vecteurs et que l'hypocycloïde est également la somme d'un petit mouvement circulaire r₂ auquel s'ajoute un grand mouvement circulaire en sens opposé r₁.

Propriétés

La courbe est formée d'arcs isométriques (appelés arches) séparés par des points de rebroussements. Si q est rationnel (et peut donc s'écrire q=a/b où a et b sont des entiers), a représente le nombre d'arches de la courbe. On peut aussi voir ces deux grandeurs de la manière suivante :

a représente le nombre de rotations du cercle roulant nécessaires pour ramener le point mobile à sa position de départ,
b représente le nombre de tours du cercle de base nécessaires au cercle roulant pour revenir au point de départ.

Les points de rebroussements sont obtenus pour $θ = \frac{2 k π}{q}$ . La longueur d'une arche est de $8 \frac{q - 1}{q ^{2}} R$ .
Si q est entier, la longueur totale de la courbe vaut $\frac{4}{π} (1 + \frac{1}{q})$ fois la longueur du cercle de base, et l'aire totale vaut $(1 - \frac{1}{q}) (1 - \frac{2}{q})$ fois celle du cercle de base.

Le théorème de la double génération prouve qu'une hypocycloïde est aussi une péricycloïde, c'est-à-dire la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon r+R roulant sans glisser sur ce cercle directeur en le contenant.

Les petites oscillations du pendule de Foucault forment également une hypocycloïde.