Idéal maximal

Un idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre.

Un idéal d'un anneau est dit maximal si, et seulement si, il n'est contenu que dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull.

Cette définition permet de généraliser la notion d'élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Certains de ces anneaux ont un rôle important en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique.

L'arithmétique demande parfois de travailler sur des anneaux complexes comme certains parmi les entiers algébriques. Les théorèmes habituellement utilisés pour bâtir la théorie, comme celui de la décomposition en facteurs premiers, n'est plus entièrement vérifié. Dans ce cas, l'unicité de la décomposition (à l'ordre et aux éléments inversibles près) n'est pas exacte.

Pour néanmoins pouvoir construire la théorie, un autre concept reste opérationnel : celui des idéaux. Les définitions valables pour les éléments, comme irréductible, premier, premiers entre eux dans leur ensemble, pgcd ou encore Plus petit commun multiple ont souvent des définitions équivalentes pour les anneaux.

La notion d'idéal maximal correspond à celle d'éléments irréductibles, largement utilisée dans la théorie des polynômes.

• Un idéal maximal est un idéal tel qu'il existe exactement deux idéaux le contenant, lui-même et l'anneau entier.
• Un élément irréductible est un élément non nul dont l'idéal engendré est maximal parmi les idéaux principaux propres.

La dernière définition est équivalente à la suivante:

• Un élément irréductible est un élément tel que toute décomposition en deux facteurs contient un et un seul élément inversible.

Les anneaux ne possédant qu'un unique idéal maximal sont d'une importance particulière : ce sont les anneaux locaux. Ils sont en général obtenu après un processus de localisation qui consiste à rendre inversibles suffisamment d'éléments pour qu'il ne reste qu'un idéal maximal.

• Les idéaux maximaux de l'anneau (euclidien, donc principal) $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs sont les idéaux de la forme $p\mathbb{Z}$, pour p un nombre premier. Localiser cet anneau permet de définir les anneaux d'entiers p-adiques.
• Si K est un corps commutatif, les idéaux maximaux de l'anneau (euclidien, donc principal) K[X] sont les idéaux engendrés par les polynômes irréductibles. Dans le cas où le corps est algébriquement clos (par exemple pour le corps des nombres complexes), ce sont les polynômes de degré 1. Localiser ces anneaux amène aux anneaux de séries formelles.
• Dans le cas de l'anneau des polynômes à coefficients dans l'anneau des entiers relatifs, un polynôme irréductible n'engendre pas forcément un idéal maximal : l'idéal engendré par X est strictement inclus dans celui engendré par 2 et X.

Anneau quotient

• Un idéal I d'un anneau commutatif A est maximal si, et seulement si, le quotient A/ I est un corps.

En conséquence, tout idéal maximal est premier.

Cette propriété est largement utilisée en théorie de Galois, elle permet de définir des extensions algébriques.

Supposons que I soit maximal.

Soit a un élément de A non élément de I un idéal maximal. Comme A est commutatif, I + a.A est un idéal contenant I, et donc est égal à A. Cela signifie qu'il existe un élément i de I et un élément b de A tel que i + a.b = 1. Cette égalité montre que la classe de a est inversible, d'inverse la classe de b. En conséquence, A / I est un corps.

Réciproquement, supposons que A / I soit un corps.

Soit J un idéal de A contenant strictement I et a un élément de J - I. La classe de a est un élément inversible donc il existe un élément b de A et un élément i de I tel que i + a.b = 1. Cette égalité montre que 1 est élément de J et donc J est égal à A, I est bien un idéal maximal.

Anneau principal

Dans le cas d'un anneau principal, les notions d'irréductibilité et de primalité sont confondues. Le théorème suivant s'applique:

• Si A est principal les propositions suivantes sont équivalentes :

• (i) I est un idéal premier

• (ii) I est engendré par un élément p différent d'une unité et qui, s'il divise un produit a.b, divise soit a soit b.

• (iii) I est engendré par un élément p différent d'une unité et qui n'a d'autres diviseurs que lui-même et 1 aux éléments inversibles près

• (iv) I est maximal

La démonstration est donné dans l'article sur Idéal premier et anneau principal.

Théorème de Krull et éléments inversibles

Dans un anneau commutatif, le théorème de Krull assure que tout idéal propre (c'est-à-dire différent de l'anneau tout entier) est inclus dans au moins un idéal maximal.

En conséquence, un élément de l'anneau est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal.

(En effet, un élément est non inversible si et seulement si l'idéal qu'il engendre est propre.)