Théorème de Krull

Enoncé: soit A un anneau commutatif non réduit à 0. Alors tout idéal strict de A est contenu dans un idéal maximal.

La démonstration est une application immédiate du lemme de Zorn, qui est équivalent à l'axiome du choix.

En particulier, tout anneau commutatif non réduit à 0 possède au moins un idéal maximal, a fortiori au moins un idéal premier.

Soit A un anneau commutatif non réduit à 0.

• Le spectre de A n'est pas vide.
• Le nilradical de A est l'intersection des idéaux premiers de A; plus généralement, le radical de tout idéal propre de A (i.e. distinct de A) est l'intersection des idéaux premiers qui le contiennent.
• Le théorème de Krull permet de construire une clôture algébrique d'un corps commutatif (des constructions alternatives se basent sur le théorème de Zermelo, équivalent au lemme de Zorn).