En 1801 dans son livre Recherches arithmétiquesCarl Friedrich Gauss développe des arithmétiques sur d'autres anneaux que celui des entiers relatifs. Il utilise particulièrement l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps et l'ensemble des entiers qui portent son nom.
Ces anneaux contiennent des éléments ayant les mêmes propriétés que ceux des nombres premiers, les polynômes irréductibles ou les nombres premiers de Gauss. Cette approche est particulièrement fructueuse, elle permet par exemple de démontrer beaucoup plus simplement le théorème des deux carrés de Fermat ou une conjecture particulièrement difficile pour l'époque la loi de réciprocité quadratique.
Cette approche est généralisée aux entiers algébriques. En 1847 Gabriel Lamé utilise une généralisation brutale et croit avoir démontré le grand théorème de Fermat. Ernst Kummer montre que l'unicité associé au théorème de décomposition en facteurs premiers n'est plus assurée. Il développe les nombres complexes idéaux pour retrouver une unicité à travers un nouveau concept.
Ce concept ayant pour objectif de pallier les insuffisances des propriétés des nombres, est formalisé par la notion d'idéal, à la suite des travaux de Richard Dedekind . Il existe plusieurs propriétés pour caractériser les différents idéaux. Un idéal premier correspond au nombre premier. Dans les cas simples, où l'idéal est associé à un nombre, par exemple parce que l'anneau est principal ou factoriel, les notions coïncident. Les nombres premiers, définis usuellement par le fait que dans toute décomposition en deux facteurs, l'un au moins est un élément inversible, correspondent alors à un idéal premier. Dans les cas plus complexes, comme les anneaux de Dedekind, le concept d'idéal premier reste opérationnel, alors que celui de nombre premier perd largement sa puissance opératoire.
Géométrie algébrique
Exemple de variété algébrique
Une variété algébrique est l'objet de base de la géométrie algébrique. Elle correspond à une géométrie définie par des équations algébriques. Un des objets de la géométrie algébrique est le classement des différentes variétés. La notion d'idéal premier est à la base de ces classements.
De même qu'un polynôme peut être vu sous l'angle d'un idéal de l'anneau des polynômes, une variété algébrique peut être définie par l'idéal des polynômes qui s'annulent sur cette variété. Une variété est alors parfaitement classée par la données des idéaux premiers de polynômes qui s'annulent sur elle.
L'association de la géométrie et de l'arithmétique ouvre la voie à la démonstration de nombreux théorèmes. Elle est, par exemple, à la base de la démonstration du grand théorème de Fermat par Andrew Wiles en 1994.
Définition
Dans toute la suite de l'article, A désigne un anneau commutatif unitaire, a un élément de A et I un idéal de A.
Un idéal I de A est dit premier si le quotient de A par I est intègre.
Un élément a de A est dit premier si, et seulement si l'idéal a.A est premier.
Lorsque A est intègre, cette définition généralise la notion de nombre premier, tout en conservant les propriétés : si un élément non nul p est premier, alors toute décomposition de p en deux facteurs contient un élément inversible (mais il existe des contre-exemples où A n'est pas intègre. Prendre l'élément premier p=(1,0) de l'anneau Z² ).
Exemples
Entiers relatifs
Dans Z, un entier premier au sens de la définition précédente est un entier tel que Z/nZ soit intègre. Tout anneau intègre ayant un nombre fini d'éléments est un corps. En conséquence soit n est un nombre premier au sens usuel, soit -n est un nombre premier.
La définition de l'article correspond à la définition usuelle aux inversibles près. En effet, par convention, un nombre premier est l'élément associé positif des générateurs de l'idéal. Cette convention permet une expression plus simple du théorème fondamental de l'arithmétique (cf l'article élément inversible).
Polynôme
Polynôme à coefficient dans un corps
Dans le cas où les polynômes sont à coefficient dans un corps, l'anneau est, comme précédemment euclidien, donc principal : tout idéal est composé des multiples d'un polynôme unitaire. Un polynôme est premier si, et seulement s'il est différent d'une constante et si toute décomposition en deux facteurs contient un élément inversible.
Cette définition est équivalente à celle d'élément irréductible. Cet état de fait est général dans les anneaux principaux. La tradition impose surtout de parler de polynôme irréductible.
Polynôme à coefficient dans Z
Si les coefficients du polynôme sont choisis dans Z, alors l'anneau des polynômes n'est plus principal. Par exemple, l'idéal I engendré par X et 2 n'est pas principal. Le quotient de Z[X] par I est un anneau à deux éléments donc intègre. Cet idéal est premier, mais n'est pas associé à un élément de l'anneau.
Entier de Gauss
Les entiers de Gauss forment un anneau euclidien. À chaque idéal correspond une classe d'association engendrant l'idéal, les notions d'idéaux et de nombres premiers de Gauss coïncident. Les éléments premiers s'appellent des nombres premiers de Gauss.
Propriétés
Lemme d'Euclide
La traduction du lemme d'Euclide est directe en termes d'idéal :
Un idéal I est premier si et seulement si c'est un idéal propre tel que :
∀a,b∈A[a.b∈I⇒(a∈I ou b∈I)]
Cette proposition est en effet l'analogue de : un entier supérieur à 1 est premier si chaque fois qu'il divise un produit, il divise l'un des facteurs.
De manière équivalente :
Un idéal propre est premier si et seulement si chaque fois qu'il contient le produit de deux idéaux, il contient l'un ou l'autre.
Cette propriété peut être affinée :
Un idéal propre est non premier si et seulement s'il est strictement contenu dans deux idéaux dont il contient le produit.
Par conséquent, tout idéal premier est irréductible : s'il est égal à l'intersection de deux idéaux alors il est égal à l'un ou l'autre (puisqu'il contient leur produit et qu'il est premier).
Anneau principal
Dans un anneau principal, un idéal premier ressemble à l'idée intuitive que l'on s'en fait d'après l'exemple des entiers relatifs.
Si I est un idéal non nul d'un anneau principal, les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) I est premier
(ii) I est engendré par un élément p non inversible et qui, s'il divise un produit a.b, divise soit a soit b.
(iii) I est engendré par un élément p non inversible et qui n'a d'autres diviseurs que lui-même et 1 aux éléments inversibles près
(iv) I est maximal.
Image réciproque
Si ψ est un morphisme d'anneaux (commutatifs et unitaires) de A dans B, et P un idéal de B, on sait que l'image réciproqueQ de P par ψ est un idéal de A. Dans ces conditions, si P est premier alors Q aussi.
En effet A / Q est intègre : d'une part A / Q n'est pas l'anneau nul, autrement dit Q n'est pas A tout entier, car il ne contient pas 1A puisque ψ(1A)=1B n'appartient pas à P ; d'autre part A / Q est isomorphe à un sous-anneau de B / P, donc est, comme lui, sans diviseur de zéros.
Cette propriété s'applique le plus souvent au cas où A est un sous-anneau de B, le morphisme ψ étant alors simplement l'injection canonique. Elle se formule alors ainsi :
Si A est un sous-anneau de B et P un idéal premier de B alors P∩A est un idéal premier de A.
