Identités vectorielles

Restez toujours informé : suivez-nous sur Google (☆)

Introduction

Articles d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

Les identités suivantes peuvent être utiles en analyse vectorielle.

$a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$
$a \times (b \times c) = (c \times b) \times a = b (a \cdot c) - c (a \cdot b)$
$(a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c)$
$\nabla \times (\nabla ψ) = 0$
$\nabla \cdot (\nabla \times V) = 0$
$\nabla \times (\nabla \times V) = \nabla (\nabla \cdot V) - \nabla^{2} V$
$\nabla (ψ ϕ) = (\nabla ψ) ϕ + (\nabla ϕ) ψ$
$\nabla \cdot (ψ V) = (\nabla ψ) \cdot V + (\nabla \cdot V) ψ$
$\nabla \times (ψ V) = (\nabla ψ) \times V + (\nabla \times V) ψ$
$\nabla (A \cdot B) = (A \cdot \nabla) B + (B \cdot \nabla) A + A \times (\nabla \times B) + B \times (\nabla \times A)$
$\nabla \cdot (A \times B) = (\nabla \times A) \cdot B - A \cdot (\nabla \times B)$

Identités vectorielles générales

Dans cette section, a, b, c et d représentent des vecteurs quelconques.

Conventions d'écriture

Dans cet article, les conventions suivantes sont utilisées :

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est noté

a \cdot b

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

a \cdot b = a_{i} b^{i}

Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est noté

a \times b

En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :

(a \times b)_{i} = ϵ_{i}^{j k} a_{j} b_{k}

Symbole de Levi-Civita

Une identité revenant souvent dans les démonstrations utilisant la convention de sommation d'Einstein est la suivante :

ϵ_{ij}^{k} ϵ_{k}^{l m} = δ_{i}^{l} δ_{j}^{m} - δ_{i}^{m} δ_{j}^{l}

Avec δ le symbole de Kronecker.

Triple produits

$a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$
$a \times (b \times c) = (c \times b) \times a = b (a \cdot c) - c (a \cdot b)$

La première égalité découle des propriétés du produit vectoriel : $(a \times b) = - (b \times a)$ . La seconde est démontrée ci-dessous.

Autres Produits

$(a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c)$

Opérateurs

Cette section fournit une liste explicite de la signification des symboles utilisés pour plus de clarté.

Divergence

Divergence d'un champ vectoriel

Pour un champ vectoriel $V$ , on écrit généralement la divergence comme suit :

div (V) = \nabla \cdot V

C'est un scalaire.

En convention de sommation d'Einstein la divergence d'un champ vectoriel s'écrit :

\nabla \cdot V = \partial_{i} V^{i}

Divergence d'un tenseur

Pour un tenseur $T$ , on écrit généralement la divergence comme suit :

div (T) = \nabla \cdot T

C'est un vecteur

Rotationnel

Pour un champ vectoriel $V$ , on écrit généralement le rotationnel comme suit :

rot (V) = \nabla \times V

C'est un champ vectoriel.

En convention de sommation d'Einstein le rotationnel d'un champ vectoriel s'écrit :

(\nabla \times V)_{i} = ϵ_{i}^{j k} \partial_{j} V_{k}

Gradient

Gradient d'un champ vectoriel

Pour un champ vectoriel $V$ , on écrit généralement le gradient comme suit :

grad (V) = \nabla V

C'est un tenseur.

Gradient d'un champ scalaire

Pour un champ scalaire ψ, on écrit généralement le gradient comme suit :

grad (ψ) = \nabla ψ

C'est un vecteur.

En convention de sommation d'Einstein le gradient d'un champ scalaire s'écrit :

(\nabla ψ)_{i} = \partial_{i} ψ

Combinaisons d'opérateurs

Rotationnel du gradient

Le rotationnel du gradient de n'importe quel champ scalaire ψ est toujours nul :

\nabla \times (\nabla ψ) = 0

Divergence du rotationnel

La divergence du rotationnel de n'importe quel champ vectoriel $V$ est toujours nulle :

\nabla \cdot (\nabla \times V) = 0

Laplacien

Laplacien d'un champ scalaire

Le Laplacien d'un champ scalaire ψ est défini comme la divergence du gradient :

\nabla \cdot (\nabla ψ) = \nabla^{2} ψ

C'est un scalaire.

En convention de sommation d'Einstein, le Laplacien d'un champ scalaire se note comme suit :

\nabla^{2} ψ = \partial_{i} \partial^{i} ψ

Laplacien d'un champ vectoriel

Le Laplacien vectoriel d'un champ vectoriel est le vecteur dont les composantes sont les laplacien des composantes.

En convention de sommation d'Einstein cela se note :

(\nabla^{2} V)_{i} = \nabla^{2} (V_{i}) = \partial_{j} \partial^{j} (V_{i})

Rotationnel du rotationnel

Le rotationnel du rotationnel d'un champ vectoriel $V$ est donné par :

\nabla \times (\nabla \times V) = \nabla (\nabla \cdot V) - \nabla^{2} V

Autres identités impliquant des opérateurs

Dans cette section, ψ et φ représentent des champs scalaires, $V, A$ et $B$ représentent des champs vectoriels.

$\nabla (ψ ϕ) = (\nabla ψ) ϕ + (\nabla ϕ) ψ$

Cette relation découle immédiatement de la règle du produit.

$\nabla \cdot (ψ V) = (\nabla ψ) \cdot V + (\nabla \cdot V) ψ$
$\nabla \times (ψ V) = (\nabla ψ) \times V + (\nabla \times V) ψ$
$\nabla (A \cdot B) = (A \cdot \nabla) B + (B \cdot \nabla) A + A \times (\nabla \times B) + B \times (\nabla \times A)$
$\nabla \cdot (A \times B) = (\nabla \times A) \cdot B - A \cdot (\nabla \times B)$