Induction électrique

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Introduction

En électromagnétisme, l'induction électrique est un champ vectoriel noté $D (r, t)$ = D(r,t) en fonction de la position dans l'espace $r$ = r et du temps t, ou encore $D (r, ω)$ = D(r,ω) en fonction de la position dans l'espace $r$ =r et de la fréquence ω, qui apparait dans les équations de Maxwell des milieux . Il est encore appelé champ déplacement électrique ou densité de flux électrique.

Unités

Dans le système d'unités de mesures internationales dit SI, D est mesuré en coulombs par mètre carré, c'est-à-dire C/m ou encore C.m.

Ce choix d'unités résulte de l'équation simplifiée dite de Maxwell-Ampère :

$rot H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$ ,

soit encore

$\nabla \land H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$ ,

où H est exprimé en ampères par mètre (A.m), et J en ampères par mètre carré (A.m). D doit donc être exprimé en ampères par mètre carré fois des secondes (A.m.s), ce qui donne des coulombs par mètre carré (C.m), car le coulomb est par définition la quantité d'électricité traversant une section d'un conducteur parcouru par un courant d'intensité de 1 ampère pendant 1 seconde (1 C = 1 A.s).

Relation avec le champ électromagnétique

En général, on considère les milieux dits linéaires, $D (r, ω)$ est alors relié au champ électrique $E (r, ω)$ par la relation

D (r, ω) = ϵ (r, ω) * E (r, ω)

où $ϵ (r, ω)$ représente la permittivité absolue du milieu, qui est une matrice 3x3 dans les milieux anisotropes, et une fonction dans les milieux isotropes. Cette relation n'est pas universelle : échappent à cette relation, entre autres, les milieux électriquement non linéaires ( $D (r, ω)$ dépend alors aussi des termes quadratiques de $E (r, ω)$ ),

D = \frac{E}{∣ E ∣} (ϵ^{(1)} \cdot ∣ E ∣ + ϵ^{(2)} \cdot ∣ E ∣^{2} + ϵ^{(3)} \cdot ∣ E ∣^{3} + \dots)

et les milieux dits « chiraux » ( $D (r, ω)$ dépend alors linéairement de $E (r, ω)$ mais aussi du champ magnétique $H (r, ω)$ ) :

Induction électrique dans un condensateur

Pour un condensateur, la densité de charge sur les plaques est égale à la valeur du champ D entre les plaques. Ceci fait suite directement à la loi de Gauss, en intégrant sur une boîte rectangulaire chevauchant les plaques du condensateur :

\oint_{S} D \cdot d S = Q

où S représente l'aire orientée de la boîte et Q la charge accumulée par le condensateur. La partie de la boîte à l'intérieur de la plaque à un champ nul (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est nulle), et sur les bords de la boite, $d A$ est perpendiculaire au champ (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est aussi nulle). Au final, il reste :

∣ D ∣ = \frac{Q}{S}

ce qui représente la densité de charge de la plaque.