Inégalité de Bernoulli

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Introduction

L'inégalité de Bernoulli stipule que :

(1 + x)^{n} > 1 + n x

pour tout entier naturel n , et tout nombre réel x non nul et strictement supérieur à -1.

Démonstration

Soit $x \in R^{⋆}$ tel que $x > - 1$ et $m \in N$ tel que $m \geq 2$ et on cherche à montrer que $(1 + x)^{m} > 1 + m x$

On va définir la fonction f définie sur $R$ par :

f (x) = (1 + x)^{m} - (1 + m x)

On va montrer que la fonction f > 0 sur l'intervalle $] - 1, 0 [\cup] 0, + \infty [$
La dérivée de la fonction sur le domaine considéré est :

f^{'} (x) = m (1 + x)^{m - 1} - m

f^{'} (x) = m ((1 + x)^{m - 1} - 1)

On étudie maintenant le signe de la dérivée :

f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 0

$f^{'} (x) < 0$ pour $x \in] - 1, 0 [$ et

$f^{'} (x) > 0$ pour $x \in] 0, + \infty [$

La fonction f est donc strictement décroissante sur l'intervalle $] - 1, 0 [$ et strictement croissante sur l'intervalle $] 0, + \infty [$ .
Pour $x = 0$ , on a $(1 + x)^{m} - (1 + m x) = 0$
On a donc bien f > 0 sur l'intervalle $] - 1, 0 [\cup] 0, + \infty [$ .

Autre démonstration

Voici une démonstration par récurrence

Initialisation :

Pour n=2 en supposant x non nul on a :

1 + 2 x + x^{2} > 1 + 2 x

ou encore :

(1 + x)^{2} > 1 + 2 x

Donc la propriété est vraie au rang 2.

Hérédité :

Hypothèse de récurrence : $(1 + x)^{k} > 1 + k x$

Montrons que la propriété est vraie au rang suivant k+1 :

(1 + x)^{k} > 1 + k x

$(1 + x)^{k} (1 + x) > (1 + k x) (1 + x)$ en effet on ne change pas le sens de l'inégalité car on suppose x>-1 donc x+1>0

(1 + x)^{k + 1} > 1 + x + k x + k x^{2}

1 + x + k x + k x^{2} = 1 + (k + 1) x + k x^{2} > 1 + (k + 1) x

D'où

(1 + x)^{k + 1} > 1 + (k + 1) x

Conclusion :

La propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 2 avec x non nul et strictement supérieur à -1.