Lemme d'Itô

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Introduction

Le lemme d'Itô, ou encore formule d'Itô est l'un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS).

Énoncé

Si $\scriptstyle\ X\$ est la solution de l'EDS

X (t) = X (0) + \int_{0}^{t} σ (X (s), s) d B (s) + \int_{0}^{t} m (X (s), s) d s,

ou de

d X (t) = m (X (t), t) d t + σ (X (t), t) d B (t)

où $\scriptstyle\ B\$ est un mouvement brownien, et si $\scriptstyle\ f(t,x)\$ est une fonction de classe $\scriptstyle\ \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})\$ , alors

df (X (t), t) = (\frac{\partial f}{\partial t} + m (X (t), t) \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} σ (X (t), t)^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}) d t + σ (X (t), t) \frac{\partial f}{\partial x} d B_{t} .

Dans le cas d'un mouvement brownien $\scriptstyle\ \frac{\sigma^2}{2}\$ correspond au coefficient de diffusion et m à la vitesse moyenne de la particule. (voir Équation de Fokker-Planck). En finance $\scriptstyle\ \sigma\$ est la volatilité et m la dérive du prix du sous jacent. (voir Modèle Black-Scholes par exemple)

Applications

La formule d'Itô est l'une des pierres angulaires du calcul stochastique, et est utilisée dans de très nombreux domaines: mathématiques appliquées, physique, finance, biologie, Mécanique quantique, traitement du signal, etc..

En calcul stochastique,

Elle permet de faire le lien entre les solutions d'EDS et des opérateurs différentiels du second ordre, et donc entre la théorie des probabilités et celle des équations aux dérivées partielles.
Elle permet d'affirmer l'existence de solutions d'EDS sous des conditions (très) faibles de régularité sur les coefficients.

Histoire

La formule d'Itô a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Itô dans les années 1940.

Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés dans un pli cacheté à l'Académie des sciences qui ne fut ouvert qu'en 2000.

Un exemple : le modèle Black-Scholes

Le mouvement brownien geometrique est souvent utilisé en finance comme le plus simple modèle d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique :

d X (t) = σ X (t) d B (t) + μ X (t) d t,

où $\scriptstyle\ B\$ est un mouvement brownien.

Si $\scriptstyle\ \sigma=0,\$ alors nous sommes face à une équation différentielle ordinaire dont la solution est

X(t) = X(0)exp(μt).

En posant $\scriptstyle\ f(x,t)=\ln x,\$ on obtient grâce à la formule d'Itô :

d (ln X (t)) = (X (t) μ \frac{1}{X ( t )} + 0 + \frac{1}{2} X (t)^{2} σ^{2} (- \frac{1}{X ( t ) ^{2}})) d t + X (t) σ \frac{1}{X ( t )} d B_{t},

d (ln X (t)) = (μ - \frac{σ ^{2}}{2}) d t + σ d B_{t} .

On peut alors intégrer et il en découle que :

X (t) = X (0) exp (σ B (t) + μ t - \frac{1}{2} σ^{2} t) .