Mouvement brownien

Le mouvement brownien, ou processus de Wiener est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les « petites » molécules du fluide environnant. Il en résulte un mouvement très irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la première fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant des mouvements de particules à l'intérieur de grains de pollen de Clarkia pulchella (une espèce de fleur sauvage nord-américaine), puis de diverses autres plantes.

La description physique la plus élémentaire du phénomène est la suivante :

• entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante ;
• la grosse particule est accélérée lorsqu'elle rencontre une molécule de fluide ou une paroi.

Ce mouvement permet de décrire avec succès le comportement thermodynamique des gaz (théorie cinétique des gaz), ainsi que le phénomène de diffusion. Il est aussi très utilisé dans des modèles de mathématiques financières.

Brown aperçut dans le fluide situé à l’intérieur des grains de pollen (le mouvement brownien n'a pas été observé sur les grains de pollen eux-mêmes comme souvent mentionné), de très petites particules agitées de mouvements apparemment chaotiques. Ceux-ci ne pouvaient s’expliquer par des écoulements, ni par aucun autre phénomène physique connu. Dans un premier temps, Brown les attribua donc à une activité vitale. L'explication correcte du phénomène viendra plus tard.

Brown n'est pas exactement le premier à avoir fait cette observation. Il signale lui-même que plusieurs auteurs avaient suggéré l’existence d’un tel mouvement (en lien avec les théories vitalistes de l'époque). Parmi ceux-ci, certains l’avaient effectivement décrit. On peut mentionner en particulier l’abbé John Turberville Needham (1713-1781), célèbre à son époque pour sa grande maîtrise du microscope.

La réalité des observations de Brown a été discutée tout au long du XXe siècle. Compte tenu de la médiocre qualité de l'optique dont il disposait, certains ont contesté qu'il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromètres au plus. Les expériences ont été refaites par l’Anglais Brian Ford au début des années 1990, avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les plus semblables possibles . Le mouvement a bien été observé dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown.

Notion de processus stochastique

La difficulté de modélisation du mouvement brownien réside dans le fait que ce mouvement est aléatoire et que statistiquement, le déplacement est nul : il n'y a pas de mouvement d'ensemble, contrairement à un vent ou un courant. Plus précisément :

• à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s'annule (il n'y a pas de mouvement d'ensemble) ;
• si l'on suit une particule donnée au cours du temps, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ, elle « virevolte » autour du même point.

Il est difficile dans ces conditions de caractériser le mouvement. La solution fut trouvée par Louis Bachelier, et présentée dans sa thèse soutenue le 29 mars 1900. Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, ce n'est pas la moyenne arithmétique des positions <X> mais la moyenne quadratique $\sqrt{⟨X^2⟩}$ : si x(t) est la distance de la particule à sa position de départ à l'instant t, alors :

On démontre que le déplacement quadratique moyen est proportionnel au temps :

où d est la dimension du mouvement (linéaire, plan, spatial), D le coefficient de diffusion, et t le temps écoulé.

Définition mathématique

On peut définir de façon formelle un mouvement brownien: c'est un processus stochastique $(B_t{)}_{(t\ge 0)}$ dont les accroissements disjoints sont indépendants et tels que B_{t + s} − B_t suit une loi normale de moyenne nulle et de variance s.

Cette définition permet de démontrer des propriétés du mouvement brownien, comme par exemple sa continuité (presque sure), le fait que presque surement, la trajectoire n'est différentiable nulle part, et de nombreuses autres propriétés.

On pourrait également définir le mouvement brownien par rapport à sa variation quadratique moyenne. Cette définition, classiquement appelée théorème de Levy, donne la caractérisation suivante: un processus stochastique à trajectoires continues dont la variation quadratique est t est un mouvement brownien. Ceci se traduit mathématiquement par le fait que pour une filtration donnée, $(B_t{)}_{(t\ge 0)}$ et $(B_t^2-t{)}_{(t\ge 0)}$ sont des martingales.

Construction mathématique

En essayant de formaliser le Mouvement Brownien, on peut construire ce dernier suivant deux methodes.

Au moyen du Théorème de Consistance de Kolmogorov :

Soit $(f_t)t\in \mathbb{R}+$ une famille de fonctions à valeurs réelles appartenant à $L^2({\mathbb{R}}_{+})$. Posons alors :

Alors, la fonction satisfait la propriété suivante :

$\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et tous $t_1,...,t_k\in {\mathbb{R}}_{+}$, la matrice ${\left(s(t_i,t_j)\right)}_{1\le i,j\le k}$ est symétrique et semi-définie positive.

Au moyen du Theoreme de Consistance de Kolmogorov, on peut construire un processus gaussien $\{Y_t\}t\in \mathbb{R}+$ dont la fonction moyenne m est arbitraire et dont la fonction de covarianace est s définie au dessus.

Lorsque $(f_t)t\in \mathbb{R}+=\left(\sqrt{c}.11_{[o,t]}\right)t\in \mathbb{R}+$ où c > 0 est une constante ne dépendant pas de t et où $11_{[o,t]}$ est la fonction indicatrice sur [o,t]. Il résulte alors de l'expression de s que pour tout $(u,v)\in {{\mathbb{R}}^2}_{+}$ :

Dans ce cas la, la matrice ${\left(s(t_i,t_j)\right)}_{1\le i,j\le k}$ est symétrique et définie positive pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et t₁,...,t_k 2 à 2 distincts.

On dit qu'un processus gaussien à valeur réelle indexé par ${\mathbb{R}}_{+}$ est un Mouvement Brownien (MB) lorsque le processus est centré (ie. l'application $t\mapsto \mathbb{E}{X}_t$ est nulle indentiquement) et que sa fonction de covariance s est donnée ci-dessus. D'habitude, un MB est noté par $\{B_t\}t\in \mathbb{R}+$. Signalons que c = Var(B₁). Lorsque que c = 1, le MB est dit Mouvement Brownien Standard.

Au moyen d'une serie aléatoire :

Proprietés du Mouvement Brownien

1. Le MB part toujours de 0 (ie. on a B₀ = 0 p.s.).
2. Les accroissements du MB sont indépendants : pour tout $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et pour tous réels t₁,...,t_k vérifiant $0\le t_1\le t_2\le ...\le t_{k-1}\le t_l$, les variables aléatoires gaussiennes $B_{t_1}-0,B_{t_2}-B_{t_1},...,B_{t_k}-B_{t_{k-1}}$ sont mutuellement indépendants.
3. Pour tous $c\in {\mathbb{R}}_{+}$, on a : $\mathbb{E}|B_s-B_t{|}^2=c|s-t|$.
4. Le MB est à accroissement stationnaire. Cela signifie que pour tout $t,h\in {\mathbb{R}}_{+}$, les variables aléatoires $B_{t_{t+h}}-B_t$ et $B_{t_h}-B_0$ sont de même loi.

Formule d'Einstein

La formule précédente permet de calculer le coefficient de diffusion d'un couple particule-fluide. En connaissant les caractéristiques de la particule diffusante ou du fluide, on peut en déduire les caractéristiques de l'autre. En connaissant les caractéristiques des deux, on peut évaluer le nombre d'Avogadro à l'aide de la formule d'Einstein (1905) :

où $T$ est la température, $\eta$ la viscosité du fluide, $r$ le rayon de la particule, $\mathcal{R}$ la constante des gaz parfaits et ${\mathcal{N}}_A$ le nombre d'Avogadro : le physicien Jean Perrin évalua ce dernier nombre en 1908 grâce à cette formule.

Considérations énergétiques

La quantité d'énergie mise en œuvre par le mouvement brownien est négligeable à l'échelle macroscopique. On ne peut pas en tirer de l'énergie pour réaliser un mouvement perpétuel de seconde espèce, et violer ainsi le deuxième principe de la thermodynamique.

Toutefois, il a été démontré que certains processus biologiques à l'échelle cellulaire peuvent orienter le mouvement brownien afin d'en soutirer de l'énergie .Cette transformation ne contrevient pas au deuxième principe de la thermodynamique tant et aussi longtemps qu'un échange de rayonnement peut maintenir la température du milieu donc la vitesse moyenne des particules. Il faut aussi considérer que la dissipation de ce mouvement brownien sous forme d'énergie utilisable engendre une croissance de l'entropie globale du système (ou de l'univers).

Équation de Langevin (1908)

Dans l'approche de Langevin, la grosse particule brownienne de masse m animée à l'instant t d'une vitesse v(t) est soumise à deux forces :

• une force de frottement fluide du type $f=-kv$, où k est une constante positive ;
• un bruit blanc gaussien η(t)

Bruit blanc gaussien :

Un bruit blanc gaussien η(t) est un processus stochastique de moyenne nulle  :

$$⟨\eta (t)⟩=0$$

et totalement décorrélé dans le temps ; sa fonction de corrélation à deux points vaut en effet :

$$⟨\eta (t_1)\eta (t_2)⟩=\Gamma \delta (t_1-t_2)$$

Dans cette formule, Γ est une constante positive, et δ(t) est la distribution de Dirac.

Dans ces deux formules, la moyenne est prise sur toutes les réalisations possibles du bruit blanc gaussien. On peut formaliser ceci en introduisant une intégrale fonctionnelle, encore appelée intégrale de chemin d'après Feynman, définie pour la mesure gaussienne dite « mesure de Wiener ». Ainsi, on écrit :

$$⟨\eta (t_1)\eta (t_2)⟩=\int \left[\mathcal{D}\eta (t)\right]\eta (t_1)\eta (t_2){\text{e}}^{-\frac{1}{2\Gamma }{\int }_{t_1}^{t_2}{\dot{\eta }}^2(\tau )d\tau }$$

où $\dot{\eta }$ est la dérivée de η par rapport au temps t.

Le principe fondamental de la dynamique de Newton conduit à l'équation stochastique de Langevin :

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est un processus stochastique décrivant (entre autres) la vitesse d'une particule dans un fluide, en dimension 1.

On le définit comme étant la solution X_t de l'équation différentielle stochastique suivante : $d{X}_t=\sqrt{2}d{B}_t-X_{t}dt$, où B_t est un mouvement brownien standard, et avec X₀ une variable aléatoire donnée. Le terme d**B_t traduit les nombreux chocs aléatoires subis par la particule, alors que le terme − X_td**t représente la force de frottement subie par la particule.

La formule d'Itô appliquée au processus e**X_t nous donne : $d(e^t{X}_t)=e^t{X}_{t}dt+e^t(\sqrt{2}d{B}_t-X_{t}dt)=e^t\sqrt{2}d{B}_t$, soit, sous forme intégrale : $X_t=X_0{e}^{-t}+\sqrt{2}{e}^{-t}{\int }_0^t{e}^{s}d{B}_s$

Par exemple, si X₀ vaut presque sûrement x, la loi de X_t est une loi gaussienne de moyenne x**e et de variance 1 − e , ce qui converge en loi quand t tend vers l'infini vers la loi gaussienne centrée réduite.

Marches aléatoires

On peut aussi utiliser un modèle de marche aléatoire (ou au hasard), où le mouvement se fait par sauts discrets entre positions définies (on a alors des mouvements en ligne droite entre deux positions), comme par exemple dans le cas de la diffusion dans les solides. Si les x_i sont les positions successives d'une particule, alors on a après n sauts :

Marche aléatoire à une dimension d'espace (Exemple)

Considérons la marche aléatoire d'une particule sur l'axe Ox. On suppose que cette particule effectue des sauts de longueur a entre deux positions contigües situées sur le réseau : $\{na,n\in \mathbb{Z}\}$ de maille a sur l'axe, chaque saut ayant une durée τ.

Il faut encore se donner un nombre p tel que : 0 < p < 1. L'interprétation physique de ce paramètre est la suivante :

• p représente la probabilité que la particule fasse un saut vers la droite à chaque instant ;
• q = 1 - p représente la probabilité que la particule fasse un saut vers la gauche à chaque instant.

Le cas du mouvement brownien correspond à faire l'hypothèse d'isotropie spatiale. Toutes les directions de l'espace physique étant a priori équivalentes, on pose l'équiprobabilité :

La figure ci-dessous montre un exemple typique de résultat : on trace les positions successives x(k) de la particule aux instants k, partant de la condition initiale x(0)=0.

Probabilités de transition conditionnelle

On définit la probabilité de transition conditionnelle :

comme étant la probabilité de trouver la particule au site ma à l'instant sτ sachant qu'elle était au site na à l'instant initial 0.

L'hypothèse d'isotropie conduit à écrire la loi d'évolution de cette probabilité de transition conditionnelle :

On en déduit la relation suivante :

Convergence vers le mouvement brownien. Équation de Fokker-Planck

Prenons la limite continue de l'équation précédente lorsque les paramètres :

• $$\tau \to 0$$

• $$a\to 0$$

On verra à la fin du calcul que la combinaison a / 2τ doit en fait rester constante dans cette limite continue.

Il vient, en réintroduisant le paramètre adéquat pour faire un développement limité :

D'autre part, on peut écrire :

de telle sorte que le crochet se réduise à :

On en déduit l'équation de Fokker-Planck :

qu'on peut réécrire :

en introduisant le coefficient de diffusion :

Solution de l'équation de Fokker-Planck

En plus de l'équation de Fokker-Planck, la densité de probabilité de transition conditionnelle P(x₀ | x,t) doit vérifier les deux conditions supplémentaires suivantes :

• la normalisation des probabilités totales :

• la condition initiale :

où δ(x) est la distribution de Dirac.

La densité de probabilité de transition conditionnelle P(x₀ | x,t) est donc essentiellement une fonction de Green de l'équation de Fokker-Planck. On peut démontrer qu'elle s'écrit explicitement :

Moments de la distribution :

Posons x₀ = 0 pour simplifier. La densité de probabilité de transition conditionnelle P₀(x,t) = P(0 | x,t) permet le calcul des divers moments :

$$⟨x^n(t)⟩={\int }_{-\infty }^{+\infty }dx{x}^n{P}_0(x,t)$$

La fonction P₀ étant paire, tous les moments d'ordre impair sont nuls. On peut facilement calculer tous les moments d'ordre pair en posant :

$$\alpha =\frac{1}{4Dt}$$

et en écrivant que :

$$⟨x^n(t)⟩=\sqrt{\frac{\alpha }{\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }dx{x}^{2n}{\mathrm{e}}^{-\alpha x^2}=(-1{)}^n\sqrt{\frac{\alpha }{\pi }}\frac{d^n}{d{\alpha }^n}\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }dx{\mathrm{e}}^{-\alpha x^2}\right]$$

On obtient explicitement :

$$⟨x^n(t)⟩=(-1{)}^n\sqrt{\frac{\alpha }{\pi }}\frac{d^n}{d{\alpha }^n}\left[\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}\right]=(-1{)}^n\sqrt{\alpha }\frac{d^n}{d{\alpha }^n}\left[\frac{1}{\sqrt{\alpha }}\right]$$

On retrouve notamment pour le moment d'ordre deux :

$$⟨x^2(t)⟩=-\sqrt{\alpha }\frac{d}{d\alpha }\left[\frac{1}{\sqrt{\alpha }}\right]=(-\sqrt{\alpha })\times \left(-\frac{1}{2{\alpha }^{3/2}}\right)=\frac{1}{2\alpha }=2Dt$$

On appelle mouvement brownien sur une variété riemannienne V le processus stochastique continu markovien dont le semigroupe de transition à un paramètre est engendré par $1/2{\Delta }_V$, où Δ_V est l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la variété V.