Limite projective

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Introduction

En mathématiques, formalisée dans le langage des catégories, la limite projective est la notion duale de celle de limite inductive et généralise celle de produit.

Ensemble ordonné filtrant

Soit $(I, \leq)$ un ensemble ordonné (partiellement ordonné en général). On dit que $(I, \leq)$ est un ensemble ordonné filtrant ssi

\forall (i, j) \in I^{2}, \exists k \in I, i \leq k e t j \leq k

Limite projective d'ensembles

Soit $(I, \leq)$ un ensemble ordonné filtrant. Soit $(E_{i})_{i \in I}$ une famille d'ensembles indexée par I. On suppose que pour chaque couple $(i, j) \in I^{2}$ tel que $i \leq j$ , on dispose d'une application $f_{i}^{j} : E_{j} \to E_{i}$ . On suppose que ces applications vérifient les deux propriétés suivantes:

$\forall i \in I, f_{i}^{i} = I d_{E_{i}}$
$\forall (i, j, k) \in I^{3}, i \leq j \leq k \Rightarrow f_{i}^{j} \circ f_{j}^{k} = f_{i}^{k}$ .

Une telle structure est appelée système projectif d'ensembles. On appelle limite projective de ce système l'ensemble

lim E_{i} = {(a_{i}) \in i \in I \prod E_{i} \forall i \leq j, a_{i} = f_{ij} (a_{j})}

Système projectif

Soit $(I, \leq)$ un ensemble ordonné filtrant. Soit C une catégorie. On appelle système projectif d'objets de C indexés par I la donnée d'une famille $(E_{i})_{i \in I}$ d'objets de C et de morphismes $f_{i}^{j} : E_{j} \to E_{i}$ pour chaque couple d'indices $(i, j) \in I^{2}$ tel que $i \leq j$ ; le tout vérifiant :

$\forall i \in I, f_{i}^{i} = I d_{E_{i}}$
$\forall (i, j, k) \in I^{3}, i \leq j \leq k \Rightarrow f_{i}^{j} \circ f_{j}^{k} = f_{i}^{k}$ .

Propriété universelle de la limite projective

Soit (X_i, f_ij) un système projectif dans une catégorie C. La limite projective X, lorsqu'elle existe, est un objet de la catégorie C muni de flèches π_i de X à valeurs dans X_i vérifiant les relations de compatibilité π_i = f_ij π_j pour tous i ≤ j. De plus, la donnée (X, π_i) doit être universelle : pour tout autre objet Y muni d'une famille de flèches ψ_i vérifiant des compatibilités analogues, il existe une unique flèche u : Y → X telle que le diagramme :

soit commutatif pour tous i ≤ j. La limite projective est notée : $X = lim X_{i}$ . On parlera de limite projective des X_i suivant les morphismes f_ij, ou par abus de langage, de limite suivant I, voire tout simplement de limite projective des X_i.

Lorsqu'elle existe, la limite projective est unique, à isomorphisme (unique) près.

Autrement dit, la limite projective représente le foncteur qui à un objet Y de la catégorie C associe l'ensemble $lim H o m (X, X_{i})$ .

Exemples

Soit E un ensemble et ( $E_{n})_{n \in N}$ une famille décroissante de sous-ensemble de E. pour $p \leq q$ , on considère l'injection canonique $f_{p}^{q} : E_{q} \to E_{p}$ . cela constitue un système projectif.

$\dots \to E_{n + 1} \to E_{n} \to \dots E_{1} \to E_{0}$ .

Et, à bijection près, on a

$lim E_{n} = \cap_{n \in N} E_{n}$ .

Dans une catégorie, la limite inductive est la limite projective de la catégorie opposée.

Limite projective de structures algébriques

Dans la catégorie des magmas, des monoïdes, des groupes, des anneaux (mais pas des corps), des A-modules, des K-espaces vectoriels, on peut construire la limte projective.

Soit $(I, \leq)$ un ensemble ordonné filtrant. Soit $(E_{i})_{i \in I}$ un système projectif de magmas (ou de toute autre structure algèbrique parmi la liste ci-dessus), les applications $(f_{i}^{j}$ ) étant des morphismes. Le produit cartésien $\prod_{i \in I} E_{i}$ peut être muni de la structure de produit direct pour laquelle les projections canoniques sont des morphismes. De plus la limite projective ensembliste est stable pour la loi produit (ou les diverse lois). Elle vérifie la propriété universelle de la limite projective.

Exemple

L'anneau des entiers p-adiques $Z_{p}$ est défini comme la limite projective des anneaux $Z / p^{n} Z$ , indexés par $N$ et reliés par les morphismes de réduction modulo p. Un entier p-adique est alors une suite $(a_{n})_{n \geq 1}$ telle que $a_{n} \in Z / p^{n} Z$ et que, si n < m, $a_{n} \equiv a_{m} [p^{n}]$ .

Limite projective d'espaces topologiques

Soit $(I, \leq)$ un ensemble ordonné filtrant. Soit $(E_{i})_{i \in I}$ un système projectif d'espaces topologiques, les applications $(f_{i}^{j}$ ) étant continues.

Le produit cartésien $\prod_{i \in I} E_{i}$ peut être muni de la topologie produit pour laquelle les projections canoniques sont des continues. La topologie induite sur la limite projective ensembliste vérifie la propriété universelle de la limite projective.

Généralisation

Dans une catégorie quelconque, pour que les limites projectives existent, il suffit que le produit existe et les noyaux des doubles flèches existent.

Dans une catégorie C, étant donné deux flèches $f : X \to Y$ et $g : X \to Y$ . On appelle noyau de la double flèche (f,g), un objet N muni d'une flèche $n : N \to X$ tel que pour toute flèche $h : Z \to X$ telle que $f \circ h = g \circ h$ , il existe une unique flèche $\overset{ˉ}{f} : Z \to N$ telle que $n \circ \overset{ˉ}{f} = f$ . Le noyau est défini de façon plus simple dans les catégories abéliennes.