Limite inductive

L'efficacité du concept de limite en analyse n'est plus à démontrer. L'idée de la limite inductive (et de sa duale, la limite projective) cherche à généraliser à l'algèbre ce qui fonctionne si bien en analyse.

Un premier point clef est la notion de passage à la limite. Une limite de nombres réels positifs est positive. La limite de la racine carrée est égale à la racine carré de la limite. De manière analogue, en algèbre, on va chercher quelles sont les propriétés qui passent à la limite (inductive, projective ou les deux). Ces propriétés ne seront pas des fonctions comme en analyse mais des foncteurs. Ainsi, un foncteur covariant compatible avec la limite inductive fera en sorte que la limite inductive des images est égale à l'image de la limite inductive. (Si le foncteur est contravariant, il transformera une limite inductive en limite projective.)

Par exemple, dans la catégorie des modules sur un anneau commutatif A. La limite inductive existe toujours, elle est compatible avec le noyau, l'image et le conoyau. Par contre, la limite projective est compatible avec le noyau mais pas avec l'image.

Certaines structures se construisent naturellement par passage à la limite. Pour une extension algébrique infinie, le groupe de galois peut se définir par limite projective. On obtient ainsi un groupe profini.

Un deuxième point clef est la notion de densité. Tout nombre réel est limite de nombres rationnels et même de nombres décimaux, ce qui est la base de la manipulation des nombres à l'aide des calculatrices. Toute fonction continue définie sur un segment est limite uniforme de fonctions polynomiales, et même de fonctions en escalier. Ce résultat permet par exemple une démonstration fulgurante du théorème de Riemann-Lebesgue. On démontre d'abord le résultat pour les fonctions en escaliers et ensuite on passe à la limite. C'est cet état d'esprit que l'on va cherche à reproduire en algèbre grâce aux limites inductives. Au lieu de démontrer directement un résultat, on commence par le démontrer sur des objets simples puis on passe à la limite inductive. On peut remarquer par exemple que tout espace vectoriel est limite inductive d'espaces vectoriels de dimension finie.

Soit $(I,\le )$ un ensemble ordonné (partiellement ordonné en général). On dit que $(I,\le )$ est un ensemble ordonné filtrant ssi

On dit qu'un ensemble est filtrant à gauche lorsque l'ordre opposé est filtrant. Dans un tel cas, on conservera le vocabulaire mais il correspondra à l'ordre opposé. Dans la pratique, cela n'engendre pas de confusion, c'est même plutôt pratique.

Soit $(I,\le )$ un ensemble ordonné filtrant. Soit C une catégorie. On appelle système inductif d'objets de C indexés par I la donnée d'une famille $(E_i{)}_{i\in I}$ d'objets de C et de morphismes $f_i^j:E_i\to E_j$ pour chaque couple d'indices $(i,j)\in I^2$ tel que $i\le j$; le tout vérifiant :

• $\forall i\in I,f_i^i=I{d}_{E_i}$
• $\forall (i,j,k)\in I^3,i\le j\le k\Rightarrow f_j^k\circ f_i^j=f_i^k$.

Soit (X_i, f_ij) un système inductif dans une catégorie C . La limite inductive X, lorsqu'elle existe est un objet de la catégorie C muni de flèches φ_i de X_i à valeurs dans X vérifiant les relations de compatibilité ${\varphi }_i={\varphi }_j\circ f_{ij}$ pour tous $i⩽j$. De plus, la donnée (X,φ_i) doit être universelle : pour tout autre objet Y muni d'une famille de flèches ψ_i vérifiant des compatibilités analogues, il existe une unique flèche u : X → Y telle que le diagramme :

soit commutatif pour tous i ≤ j. La limite inductive est notée : $X=\underrightarrow{\lim }{X}_i$. On parlera de limite inductive des X_i suivant les morphismes de transition f_ij, ou par abus de langage, de limite suivant I, voir tout simplement de limite inductive des X_i.

Comme pour toute propriété universelle, lorsqu'elle existe, la limite inductive est unique, à isomorphisme unique près.

Autrement dit, la limite inductive représente le foncteur qui à un objet Y de la catégorie C associe l'ensemble $\underleftarrow{\lim }Hom(X_i,X)$.

La limite inductive existe dans la plupart des catégories usuelles (notamment les magmas, monoîdes, groupes, groupes abéliens, anneaux, A-modules, K-espaces vectoriels, espaces topologiques, etc.). On peut la construire à partir de la limlite inductive de la famille d'ensembles sous-jacents. Elle commute donc avec le foncteur d'oubli.

De façon plus générale, dans une catégorie quelconque, sa construction est duale de celle de limite projective. On construit la limite projective à l'aide de deux processus, celui de produit et celui de noyau. On construit la limite inductive à partir des deux notions duales de somme et de conoyau.

Soit (E_i, f_ij) un système inductif d'ensembles. On obtient la limite inductive comme quotient de l'union disjointe ${\bigsqcup }_{i\in I}{E}_i$ par la relation d'équivalence :

Notons $E_{\infty }$ l'ensemble quotient. Pour définir ${\varphi }_i:E_i\to E_{\infty }$, on prend comme φ_i(x) la classe de (i,x).

Soit (E_i, f_ij) un système inductif d'espaces topologiques. On munit successivement la réunion disjointe des ensemble sous-jacent puis l'espace quotient de la topologie quotient dans la construction précédente.

Soit (E_i, f_ij) un système inductif de magmas. Chaque ensemble E_i est muni d'une loi de composition interne * _i et chaque application $f_i^j$ est un morphisme. On commence par construire la limite inductive des ensembles E_i. Il existe alors une unique structure de magma sur $E_{\infty }$ telle que les applications canonique φ_i soient des morphimes.

On construit cette loi de la façon suivante. Soit (i,x) et (j,y) deux représentants de deux éléments de $E_{\infty }$. Il existe $k\in I$ tel que $i\le k$ et $j\le k$. Dans $E_{\infty }$, on a $(i,x)=(k,f_i^k(x))$ et $(j,y)=(k,f_j^k(y))$. On pose alors $(i,x)\ast (j,y)=(k,f_i^k(x){\ast }_i{f}_j^k(y))$, le résultat obtenu ne dépend bien sur pas du choix de k.

• Si chaque loi * _i est commuative, alors la loi * est commutative.
• Si chaque loi * _i est associative, alors la loi * est associative.
• Si chaque loi * _i possède un neutre e_i et si chaque morphisme $f_i^j$ vérifie $f_i^j(e_i)=e_j$, alors * possède un neutre e (De plus, pour chaque i, on a φ_i(e_i) = e).
• Si chaque E_i possède une structure de groupe, $E_{\infty }$ est un groupe.

De façon analogue, si chaque ensemble E_i est muni de deux lois + _i et * _i, la limite inductive $E_{\infty }$ est munie de deux lois + et * . Si chaque loi * _i est distributive par rapport à + _i, alors * est distributive est par rapport à + .

Ce procédé permet ainsi de construire une limite inductive d'anneau.

• Si chaque anneau E_i est intègre, il en est de même de $E_{\infty }$.
• Si chaque anneau E_i est un corps, il en est de même de $E_{\infty }$.

Soit A un anneau commutatif et (E_i, f_ij) un système inductif de A-modules. On peut munit la limite inductive $E_{\infty }$ des ensembles sous-jacent d'une structure de A-module de sorte que les application φ_i soient linéaire. une telle structure est unique et se construit de la même façon que pour les magmas.

• Si l'ensemble filtrant I est fini, il possède un plus grand élément ω. La limite inductive de tout système inductif $(E_i,f_i^j)$ est alors égale à E_ω. Si I est infini mais possède un plus grand élément quand même, le résultat est le même.

• Soit E un ensemble et (E_n) une suite croissante de sous-ensembles de E, avec les injections canoniques. la limite inductive de la suite (E_n) s'identifie à la réunion de ces ensembles.

• Soit p un nombre premier. Pour tout n soit U_n le groupe cyclique des racines p-ièmes de l'unité dans un corps algébriquement clos. On considère les inclusions comme morphismes de transition. La limite directe de ce système est alors le groupe infini constitué de toutes les racines p-primaires de l'unité.

• Soit E un espace topologique et a un point de E le germe des fonctions E dans $\mathbb{R}$ est la limite inductive des ensembles $C(U,\mathbb{R})$ des ensembles des applications continues d'un voisinages quelconques U de a. Les voisinages étant ordonné par l'inclusion (filtante à gauche, ce qui inverse le sens des flèches). Pour $V\subset U$, on va de $C(U,\mathbb{R})$ dans $C(V,\mathbb{R})$ par restriction.